Raíces complejas de funciones cuadráticas

Aquí aprenderá a hallar raíces complejas de una función cuadrática y lo que significa que una función tenga raíces complejas.

La función cuadrática $y=x^2-2x+3$ (ver a continuación) no corta al eje x, por lo que no tiene raíces reales. ¿Cuáles son las raíces complejas de la función?

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Khan Academy Using the Quadratic Formula (Uso de la fórmula cuadrática) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Recuerde que el número imaginario, $i$ , es un número cuyo cuadrado es –1:

${\color{red}i^2 = -1}$ y ${\color{red}i=\sqrt{-1}}$

A la suma de un número real y un número imaginario se le llama número complejo . Ejemplos de números complejos son $5+4i$ y $3-2i$ . Todos los números complejos se pueden escribir de la forma $a+bi$ donde $a$ y $b$ son números reales. Dos puntos importantes:

El conjunto de los números reales es un subconjunto del conjunto de los números complejos donde $b=0$ . Ejemplos de números reales son $2, 7, \frac{1}{2}, -4.2$ .
El conjunto de los números imaginarios es un subconjunto del conjunto de los números complejos donde $a=0$ . Ejemplos de números imaginarios son $i, -4i, \sqrt{2}i$ .

Esto significa que el conjunto de los números complejos incluye los números reales, los números imaginarios y combinaciones de números reales e imaginarios.

Cuando una función cuadrática no corta al eje x, tiene raíces complejas. Al resolver las raíces de una función de forma algebraica con la fórmula cuadrática, quedará un negativo debajo del símbolo de raíz cuadrada. Con su conocimiento de números complejos, puede establecer las raíces complejas de una función del mismo modo como establecería las raíces reales de una función.

Ejemplo A

En la siguiente ecuación cuadrática, halle $x$ .

$\boxed{m^2-2m+5=0}$

Solución: Puede usar la fórmula cuadrática para resolver. Para esta ecuación cuadrática, $a=1, b=-2, c=5$ .

$& m= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& m= \frac{-({\color{red}-2}) \pm \sqrt{({\color{red}-2})^2-4({\color{red}1})({\color{red}5})}}{2({\color{red}1})} \\\& m= \frac{2 \pm \sqrt{4-20}}{2} \\\& m= \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} \qquad \quad \sqrt{-16} = \sqrt{16} \times i =4i \\\& m= \frac{2 \pm 4i}{2} \\\& m=1 \pm 2i \\\& m=1+2i \ or \ m=1-2i$

La ecuación no tiene soluciones reales. Las soluciones de la ecuación cuadrática son $1+2i \ and \ 1-2i$ .

Ejemplo B

Resuelva la siguiente ecuación volviendo a escribirla como una ecuación cuadrática y usando la fórmula cuadrática.

$\frac{3}{e+3} - \frac{2}{e+2} =1$

Solución: Para volver a escribirla como una ecuación cuadrática, multiplique cada término por $(e + 3) (e + 2)$ .

$& \frac{3}{e+3} {\color{red}(e+3)(e+2)} - \frac{2}{e+2} {\color{red}(e+3)(e+2)} = 1 {\color{red}(e+3)(e+2)} \\\& 3(e+2)-2(e+3) = (e+3)(e+2)$

Expanda y simplifique.

$& 3e+6-2e-6=e^2+2e+3e+6 \\\& e^2+4e+6=0$

Resuelva usando la fórmula cuadrática. Para esta ecuación cuadrática, $a=1, b=4, c=6$ .

$& e= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& e= \frac{-({\color{red}4}) \pm \sqrt{({\color{red}4})^2-4({\color{red}1})({\color{red}6})}}{2({\color{red}1})} \\\& e= \frac{-4 \pm \sqrt{16-24}}{2} \\\& e= \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2} \qquad \quad \sqrt{-8} = \sqrt{8} \times i = \sqrt{4 \cdot 2} \times i = 2i \sqrt{2} \\\& e= \frac{-4 \pm 2i\sqrt{2}}{2}\\\& e= -2 \pm i \sqrt{2} \\\& e= -2 + i \sqrt{2} \ or \ e=-2-i\sqrt{2}$

La ecuación no tiene soluciones reales. Las soluciones de la ecuación son $-2+i\sqrt{2} \ and \ -2-i\sqrt{2}$

Ejemplo C

Bosqueje la representación de la función cuadrática. ¿Cuáles son las raíces de la función?

$y=x^2-4x+5$

Solución: Use la calculadora o una tabla para hacer un bosquejo de la función. Debería obtener lo siguiente:

Como puede ver, la función cuadrática no tiene intersecciones con $x$ ; por lo tanto, la función no tiene raíces reales. Para hallar las raíces (que serán complejas), debe usar la fórmula cuadrática.

Para esta función cuadrática, $a=1, b=-4, c=5$ .

$& x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& x= \frac{-({\color{red}-4}) \pm \sqrt{({\color{red}-4})^2-4({\color{red}1})({\color{red}5})}}{2({\color{red}1})} \\\& x= \frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2} \\\& x= \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} \qquad \quad \sqrt{-4} = \sqrt{4} \times i = 2i \\\& x= \frac{4 \pm 2i}{2} \\\& x= 2 \pm i \\\& x= 2 + i \ or \ x=2-i$

Las raíces complejas de la función cuadrática son $2+i \ and \ 2-i$ .

Revisión del problema de concepto

Para hallar las raíces complejas de la función $y=x^2-2x+3$ , debe usar la fórmula cuadrática.

Para esta función cuadrática, $a=1, b=-2, c=3$ .

$& x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& x= \frac{-({\color{red}-2}) \pm \sqrt{({\color{red}-2})^2-4({\color{red}1})({\color{red}3})}}{2({\color{red}1})} \\\& x= \frac{2 \pm \sqrt{4-12}}{2} \\\& x= \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} \qquad \quad \sqrt{-8} = \sqrt{8} \times i = 2\sqrt{2}i \\\& x= \frac{2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} \\\& x= 1 \pm \sqrt{2}i$

Vocabulario

Número complejo: Un número complejo es un número de la forma $a + bi$ donde $a$ y $b$ son números reales y $i^2=-1$ .

Número imaginario: Un número imaginario es un número tal que su cuadrado es un número negativo.; $\sqrt{-16}$ es un número imaginario porque su cuadrado es –16.; $\sqrt{-16}=i\sqrt{16} = 4i$

Práctica guiada

1. Resuelva la siguiente ecuación cuadrática. Exprese todas las soluciones en la forma radical más simple.

$2n^2+n=-4$

2. Resuelva la siguiente ecuación cuadrática. Exprese todas las soluciones en la forma radical más simple.

$m^2+(m+1)^2+(m+2)^2=-1$

3. ¿Es posible que una función cuadrática tenga exactamente una raíz compleja?

Respuestas:

1. $2n^2+n=-4$

Iguale la ecuación a cero.

$2n^2+n+4=0$

Resuelva usando la fórmula cuadrática.

$& x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& n= \frac{-({\color{red}1}) \pm \sqrt{({\color{red}1})^2-4({\color{red}2})({\color{red}4})}}{2({\color{red}2})} \\\& n= \frac{-1 \pm \sqrt{1-32}}{4} \\\& n= \frac{-1 \pm \sqrt{-31}}{4} \\\& n= \frac{-1 \pm i\sqrt{31}}{4}$

2. $m^2+(m+1)^2+(m+2)^2=-1$

Expanda y simplifique.

$& m^2 + (m+1)(m+1) + (m+2)(m+2) = -1 \\\& m^2 + m^2 + m + m + 1+ m^2 +2m +2m +4 = -1 \\\& 3m^2+6m+5=-1$

Escriba la ecuación en forma general.

$3m^2 +6m+6=0$

Divida por 3 para simplificar la ecuación.

$& \frac{3m^2}{{\color{red}3}} + \frac{6m}{{\color{red}3}} + \frac{6}{{\color{red}3}} = \frac{0}{{\color{red}3}} \\\& m^2+2m+2=0$

Resuelva usando la fórmula cuadrática:

$& m= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& m= \frac{-({\color{red}2}) \pm \sqrt{({\color{red}2})^2-4({\color{red}1})({\color{red}2})}}{2({\color{red}1})} \\\& m= \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\\& m= \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} \\\& m= \frac{-2 \pm 2i}{2} \\\& m= -1 \pm i$

3. No, incluso en polinomios de mayor grado, las raíces complejas siempre están en pares. A considerar cuando use la fórmula cuadrática: si tiene un negativo debajo del símbolo de raíz cuadrada, tanto la versión + como la versión - de las dos respuestas serán complejas.

Práctica

Si una función cuadrática tiene 2 intersecciones con x, ¿cuántas raíces complejas tiene? Explique.
Si una función cuadrática no tiene intersecciones con x, ¿cuántas raíces complejas tiene? Explique.
Si una función cuadrática tiene 1 intersección con x, ¿cuántas raíces complejas tiene? Explique.
Si desea saber si una función tiene raíces complejas, ¿en qué parte de la fórmula cuadrática es importante concentrarse?
Usted resuelve una ecuación cuadrática y obtiene 2 soluciones complejas. ¿Cómo puede corroborar las soluciones?
En general, puede intentar resolver una ecuación cuadrática mediante gráficos, factorización, completar el cuadrado o usando la fórmula cuadrática. Si una ecuación cuadrática tiene soluciones complejas, ¿qué métodos tiene para resolver la ecuación?

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Exprese todas las soluciones en la forma radical más simple.

$x^2+x+1=0$
$5y^2-8y=-6$
$2m^2-12m+19=0$
$-3x^2-2x=2$
$2x^2+4x=-11$
$-x^2+x-23=0$
$-3x^2+2x=14$
$x^2+5=-x$
$\frac{1}{2}d^2+4d=-12$

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