El discriminante

Aquí aprenderá lo que es el discriminante y a usarlo para poder describir las raíces y el gráfico de una función cuadrática.

Suponga que desea saber si la función $y=x^2-5x+12$ tiene raíces reales. ¿Qué parte de la fórmula cuadrática necesitaría probar para determinar si las raíces de la función son reales o complejas?

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Khan Academy Discriminant of Quadratic Equations (Discriminante de ecuaciones cuadráticas) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Considere las raíces potenciales de una función cuadrática. Hay tres opciones:

1. La función tiene 2 raíces reales distintas y 2 intersecciones con x.

2. La función tiene 1 raíz real (de multiplicidad 2) y 1 intersección con x.

3. La función tiene 0 raíces reales, 2 raíces complejas y 0 intersecciones con x.

La fórmula cuadrática establece que las dos raíces de una función cuadrática $y=ax^2+bx+c$ son:

$r_1= \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ y $r_2= \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Debajo del símbolo radical está la expresión $b^2-4ac$ . Esta expresión es conocida como el discriminante de la función cuadrática y es importante de forma especial porque cuando es negativo, las raíces de la función son complejas. Solo hay tres resultados posibles para el valor del discriminante. Esos resultados son:

El valor del discriminante es positivo ( $b^2-4ac>0$ ). Eso significa que la función tiene 2 raíces reales distintas y 2 intersecciones con x.
El valor del discriminante es cero ( $b^2-4ac=0$ ). Eso significa que la función tiene 1 raíz real (de multiplicidad 2) y 1 intersección con x.
El valor del discriminante es negativo ( $b^2-4ac<0$ ). Eso significa que la función tiene 0 raíces reales, 2 raíces complejas y 0 intersecciones con x.

Este discriminante es útil cuando desea describir el gráfico de una función cuadrática o sus raíces pero no necesita conocer las raíces exactas. Si necesita conocer las raíces exactas, debe usar la fórmula cuadrática completa.

Ejemplo A

Si el discriminante de una función cuadrática tiene el valor que se muestra a continuación, determine si la función tendrá dos raíces reales distintas, 1 raíz real de multiplicidad 2 o dos raíces complejas distintas.

a) 7

b) –3

c) $\frac{1}{2}$

d) 0

Solución:

a) $b^2-4ac>0$ entonces la función cuadrática tendrá dos raíces reales distintas.

b) $b^2-4ac<0$ entonces la función cuadrática tendrá dos raíces complejas distintas.

c) $b^2-4ac>0$ entonces la función cuadrática tendrá dos raíces reales distintas.

d) $b^2-4ac=0$ entonces la función cuadrática tendrá 1 raíz real de multiplicidad 2.

Ejemplo B

Dada la función $y = ax^2+ bx + c$ , ¿cuántas veces cortará el gráfico al eje $x$ si el discriminante de su ecuación cuadrática correspondiente tiene el valor:

a) 5

b) –6

c) 0

d) 0.2

Solución:

a) $b^2-4ac>0$ de modo que la parábola cortará al eje $x$ dos veces.

b) $b^2-4ac<0$ de modo que la parábola no cortará al eje $x$ .

c) $b^2-4ac=0$ de modo que la parábola cortará al eje $x$ una vez.

d) $b^2-4ac>0$ de modo que la parábola cortará al eje $x$ dos veces.

Ejemplo C

Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, determine el valor del discriminante y use ese valor para describir la naturaleza de las raíces.

a) $4x^2-4x+1=0$

b) $x^2+3x+9=0$

c) $2x^2+3x-4=0$

d) $9x^2+12x+4=0$

Solución: La letra $D$ representa al discriminante.

a) La ecuación cuadrática tendrá 1 solución real de multiplicidad 2.

$& D=b^2-4ac \\\& D=({\color{red}{-4}})^2-4({\color{red}{4}})({\color{red}{1}}) \\\& D=16-16 \\\&\boxed{D=0} \\\& b^2-4ac=0$

b) La ecuación cuadrática tendrá dos soluciones complejas distintas y ninguna solución real.

$& D=b^2-4ac \\\& D=({\color{red}{3}})^2-4({\color{red}{1}})({\color{red}{9}}) \\\& D=9-36 \\\&\boxed{D=-27} \\\& b^2-4ac<0$

c) La ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales distintas.

$& D=b^2-4ac \\\& D=({\color{red}{3}})^2-4({\color{red}{2}})({\color{red}{-4}}) \\\& D=9+32 \\\&\boxed{D=41} \\\& b^2-4ac>0$

a) La ecuación cuadrática tendrá 1 raíz real de multiplicidad 2.

$& D=b^2-4ac \\\& D=({\color{red}{12}})^2-4({\color{red}{9}})({\color{red}{4}}) \\\& D=144-144 \\\&\boxed{D=0} \\\& b^2-4ac=0$

Revisión del problema de concepto

Para determinar si las raíces de $y=x^2-5x+12$ son reales o complejas, debe hallar el discriminante, $b^2-4ac$ . Para esta función:

$b^2-4ac&=(-5)^2-4(1)(12)\\\&=25-48\\\&=-23$

Debido a que el discriminante es negativo, esta función tiene dos raíces complejas distintas.

Vocabulario

Discriminante: El discriminante es el radicando de la fórmula cuadrática y su valor se usa para describir la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática.; $b^2-4ac>0 \rightarrow$ 2 raíces reales distintas; $b^2-4ac=0 \rightarrow$ 1 raíz real de multiplicidad 2; $b^2-4ac<0 \rightarrow$ 2 raíces complejas distintas y 0 raíces reales

Multiplicidad: La multiplicidad de una raíz o solución es la cantidad de veces que la misma solución se obtiene mediante la factorización o la fórmula cuadrática. Cuando el discriminante es igual a cero, ambas soluciones producidas por la fórmula cuadrática serán iguales. Solo hay una solución, pero se dice que tiene “multiplicidad 2”.

Práctica guiada

1. Dada la siguiente ecuación cuadrática, halle el valor de “ $m$ ” tal que la ecuación tenga 1 solución real de multiplicidad 2.

$mx^2+(m+8)x+9=0$

2. Dada la siguiente ecuación cuadrática, determine la naturaleza de las soluciones:

$4(y^2-5y+5)=-5$

3. Dada la siguiente ecuación cuadrática, halle el valor de “ $m$ ” tal que la ecuación tenga dos soluciones complejas distintas.

$(m+1)e^2-2e-3=0$

Respuestas:

1. Comience determinando el valor del discriminante.

$b^2-4ac=({\color{red}{m+8}})^2-4({\color{red}{m}})({\color{red}{9}})$

Expanda y simplifique

$& b^2-4ac=({\color{red}{m+8}})({\color{red}{m+8}})-4({\color{red}{m}})({\color{red}{9}}) \\\& b^2-4ac=m^2+8m+8m+64-36m \\\& b^2-4ac=m^2-20m+64$

Si la ecuación tiene 1 solución real de multiplicidad 2, el valor del discriminante debe ser igual a cero.

$& b^2-4ac=0 \\\& \therefore m^2-20m+64=0$

Factorice la ecuación cuadrática y halle el valor de la variable “ $m$ ’.

$&(m-16)(m-4)=0 \\\& m-16=0 \ or \ m-4=0 \\\& m={\color{red}{16}} \ or \ m={\color{red}{4}}$

Los valores de ” $m$ ” que producirían 1 solución de multiplicidad 2 para la ecuación cuadrática son $m=16 \ or \ m=4$ .

2. Escriba la ecuación cuadrática en su forma general.

$4(y^2-5y+5)=-5$

Aplique la propiedad distributiva.

$4y^2-20y+20=-5$

Iguale la ecuación a cero.

$&4y^2-20y+20{\color{red}{+5}}=-5{\color{red}{+5}} \\\&4y^2-20y+25=0$

Determine el valor del discriminante para esta ecuación cuadrática.

$& D=b^2-4ac \\\& D=({\color{red}{-20}})^2-4({\color{red}{4}})({\color{red}{25}}) \\\& D=400-400 \\\&\boxed{D=0} \\\& b^2-4ac=0$

La ecuación cuadrática tendrá 1 solución real de multiplicidad 2.

3. Comience determinando el valor del discriminante.

$b^2-4ac=({\color{red}{-2}})^2-4({\color{red}{m+1}})({\color{red}{-3}})$

Expanda y simplifique

$b^2-4ac=12m+16$

Si la ecuación tiene dos soluciones complejas distintas, el valor del discriminante debe ser menos de cero.

$& b^2-4ac<0 \\\& \therefore 12m+16<0$

Resuelva la desigualdad.

$&12m+16{\color{red}{-16}}<0{\color{red}{-16}} \\\&12m<-16 \\\&\frac{12m}{{\color{red}{12}}}< \frac{-16}{{\color{red}{12}}} \\\&\frac{\cancel{12}m}{\cancel{12}}<- \frac{16}{12} \\\&\boxed{m<- \frac{4}{3}}$

El valor de “ $m$ ” que produciría dos soluciones complejas distintas para la ecuación cuadrática es $m<- \frac{4}{3}$ .

Práctica

Si el discriminante de una ecuación cuadrática tiene el valor que se muestra a continuación, describa la naturaleza de las soluciones.

–14
11
0
–0.25
124

Establezca la naturaleza de las soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

$2x^2+7x-1=0$
$3x^2+2x=-7$
$-9x^2-7=4x$
$x^2-8x+16=0$
$4+2x^2=11x$

Determine el valor o los valores de “ $m$ ” que producirán la solución indicada en cada uno de los siguientes casos:

$y^2+(m+2)y+2m=0$ ; 1 solución real de multiplicidad 2
$g^2+(m-1)g+1=0$ ; 2 soluciones reales
$3mx^2-3x+1=0$ ; 2 soluciones complejas
$x^2+4mx+1=0$ ; 1 solución real de multiplicidad 2
$p^2+mp+16=0$ ; 2 soluciones reales

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