Ecuaciones con radicales

Aquí aprenderá a resolver una ecuación con radicales.

¿Puede resolver la siguiente ecuación?

$x+ \sqrt{x-2}=4$

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Khan Academy Radical Equation Examples (Ejemplos de ecuación con radicales) *Este video solo está disponible en inglés

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Khan Academy Extraneous Solutions to Radical Equations (Soluciones extrañas de ecuaciones con radicales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Una ecuación con radicales es una ecuación con una variable debajo del signo de radical. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones con radicales:

$\sqrt{x}=5$
$\sqrt{x-4}+5=0$
$x+\sqrt{x-2}=4$
$\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3$

Al igual que la multiplicación y la división o la suma y la resta son operaciones inversas (se “deshacen” entre sí), elevar al cuadrado y hallar la raíz cuadrada son operaciones inversas:

$(\sqrt{5})^2=5$
$\sqrt{(x+2)^2}=x+2$

Por lo tanto, para eliminar una raíz cuadrada en una ecuación, aísle la parte de raíz cuadrada de la ecuación y luego eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. Si hay varias raíces cuadradas, puede hacer este proceso varias veces. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación:

$\sqrt{x-1}-5=0$

Paso 1: Aísle el radical:

$\sqrt{x-1}=5$

Paso 2: Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación.

$& \left(\sqrt{x-1}\right)^{{\color{red}{2}}}=(5)^{\color{red}{2}} \\\& x-1=25$

Paso 3: Resuelva la ecuación resultante.

$x=26$

Al igual que con cualquier ecuación, puede verificar si su respuesta es correcta reemplazando la solución en la ecuación original. A diferencia de otras ecuaciones, es muy importante verificar las respuestas de las ecuaciones con radicales. Por el hecho de que el proceso de elevar al cuadrado produce números positivos, a veces se puede llegar a una solución de una ecuación con radical que no satisface realmente la ecuación original. Esas soluciones se llaman “extrañas” y no son soluciones realmente. Por lo tanto, siempre debe verificar las respuestas de las ecuaciones con radicales . Corrobore la solución de la ecuación anterior verificando que el lado izquierdo (L.I.) de la ecuación sea igual al lado derecho (L.D.) de la ecuación:

$&\sqrt{x-1}-5=0 \\\& L.S.= \sqrt{x-1}-5 \qquad R.S.=0 \\\& L.S.= \sqrt{{\color{red}{26}}-1}-5 \\\& L.S.= \sqrt{25}-5 \\\& L.S.= {\color{red}{5}}-5 \\\& L.S.=0 \\\& L.S.=R.S.$

Por lo tanto, la solución de 26 es correcta.

Ejemplo A

Resuelva la siguiente ecuación con radicales y verifique la solución o las soluciones: $2\sqrt{x-1}-1=9$

Solución: Comience aislando el radical:

$2\sqrt{x-1}-1{\color{red}{+1}}&=9{\color{red}{+1}} \\\2\sqrt{x-1}&=10 \\\\frac{2\sqrt{x-1}}{{\color{red}{2}}}&= \frac{10}{{\color{red}{2}}} \\\\sqrt{x-1}&=5$

Ahora eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación:

$\left(\sqrt{x-1}\right)^{\color{red}{2}}&= (5)^{\color{red}{2}} \\\x-1&=25$

Resuelva la ecuación:

$x&=26$

Finalmente, verifique el resultado reemplazando el valor de 26 por “ $x$ ” en la ecuación original. Si 26 es una solución de la ecuación, el lado izquierdo ( L.I. ) será igual al lado derecho ( L.D. ).

$&2\sqrt{x-1}-1=9 \\\& L.S.=2\sqrt{{\color{red}{26}}-1}-1 \quad R.S.=9 \\\& L.S.=2\sqrt{{\color{red}{25}}}-1 \\\& L.S.=2({\color{red}{5}})-1 \\\& L.S.={\color{red}{10}}-1 \\\& L.S.=9 \\\& L.S.=R.S.$

Por lo tanto, la solución de 26 es correcta.

Ejemplo B

Resuelva la siguiente ecuación con radicales y verifique la solución o las soluciones: $\sqrt{4x+5}- \sqrt{2x-6}=3$

Solución: Cuando una ecuación con radicales tiene más de un radical, comience escribiendo la ecuación con un radical de cada lado de la ecuación. Finalmente deberá elevar al cuadrado la ecuación más de una vez a lo largo del proceso de solución.

$&\sqrt{4x+5}=3+ \sqrt{2x-6}$

Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación:

$\left(\sqrt{4x+5}\right)^{\color{red}{2}}=\left(3+ \sqrt{2x-6}\right)^{\color{red}{2}}$

Expanda y simplifique:

$&\left(\sqrt{4x+5}\right)^{\color{red}{2}}=\left(3+ \sqrt{2x-6}\right)\left(3+ \sqrt{2x-6}\right) \\\&4x+5=9+3 \sqrt{2x-6}+3 \sqrt{2x-6}+2x-6 \\\&4x+5=3+6 \sqrt{2x-6}+2x$

Aísle el radical:

$&2x+2=6 \sqrt{2x-6}$

Simplifique la ecuación:

$&\frac{2x}{{\color{red}{2}}}+ \frac{2}{{\color{red}{2}}}= \frac{6 \sqrt{2x-6}}{{\color{red}{2}}} \\\& x+1=3 \sqrt{2x-6}$

Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación:

$&(x+1)^{\color{red}{2}}=\left(3 \sqrt{2x-6}\right)^{\color{red}{2}} \\\& x^2+x+x+1=9(2x-6) \\\& x^2+2x+1=18x-54$

La ecuación es cuadrática. Escriba la ecuación en la forma estándar:

$& x^2-16x+55=0$

Resuelva la ecuación factorizando:

$&(x-11)(x-5)=0 \\\& x={\color{red}{11}} \ or \ x={\color{red}{5}}$

Verifique los resultados reemplazando primero el valor de 11 por “ $x$ ” en la ecuación original y luego sustituyendo el valor de 5 por “ $x$ ” en la ecuación original:

$&\text{Verify} \ x=11. && \text{Verify} \ x=5. \\\&\sqrt{4x+5}- \sqrt{2x-6}=3 && \sqrt{4x+5}- \sqrt{2x-6}=3 \\\& L.S.=\sqrt{4x+5}- \sqrt{2x-6} \quad R.S.=3 && L.S.=\sqrt{4x+5}- \sqrt{2x-6} \quad R.S.=3 \\\& L.S.=\sqrt{4 \left({\color{red}{11}}\right)+5}- \sqrt{2 \left({\color{red}{11}}\right)-6} && L.S.=\sqrt{4 \left({\color{red}{5}}\right)+5}- \sqrt{2 \left({\color{red}{5}}\right)-6} \\\& L.S.=\sqrt{{\color{red}{49}}}- \sqrt{{\color{red}{16}}} && L.S.=\sqrt{{\color{red}{25}}}- \sqrt{{\color{red}{4}}} \\\& L.S.={\color{red}{7}}-{\color{red}{4}} && L.S.={\color{red}{5}}-{\color{red}{2}} \\\& L.S.=3 && L.S.=3 \\\& R.S.=3 && R.S.=3 \\\& L.S.=R.S. && L.S.=R.S.$

Por lo tanto, las soluciones 11 y 5 son ambas correctas.

Ejemplo C

Resuelva la siguiente ecuación con radicales y verifique la solución o las soluciones: $\sqrt{5x+6}-4=0$

Solución: Comience aislando el radical:

$\sqrt{5x+6}&=4$

Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación:

$\left(\sqrt{5x+6}\right)^{\color{red}{2}}&=(4)^{\color{red}{2}} \\\5x+6&=16$

Resuelva la ecuación:

$5x&=10 \\\\frac{5x}{{\color{red}{5}}}&= \frac{10}{{\color{red}{5}}} \\\x&=2$

Verifique el resultado reemplazando el valor de 2 por “ $x$ ” en la ecuación original:

$&\text{Verify} \ x=2. \\\&\sqrt{5x+6}-4=0 \\\& L.S.= \sqrt{5x+6}-4 \quad R.S.=0 \\\& L.S.= \sqrt{5 \left({\color{red}{2}}\right)+6}-4 \\\& L.S.= \sqrt{{\color{red}{10}}+6}-4 \\\& L.S.= \sqrt{{\color{red}{16}}}-4 \\\& L.S.={\color{red}{4}}-4 \\\& L.S.=0 \\\& R.S.=0 \\\& L.S.=R.S.$

Por lo tanto, la solución de 2 es correcta.

Revisión del problema de concepto

$x+ \sqrt{x-2}=4$

Comience aislando el radical:

$&\sqrt{x-2}=4-x$

Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación:

$\left(\sqrt{x-2}\right)^{\color{red}{2}}=(4-x)^{\color{red}{2}}$

Expanda y simplifique:

$& x-2=16-8x+x^2$

La ecuación es cuadrática. Escriba la ecuación en la forma estándar:

$& x^2-9x+18=0$

Resuelva la ecuación:

$&(x-6)(x-3)=0 \\\& x-6=0 \ or \ x-3=0 \\\& x={\color{red}{6}} \ or \ x={\color{red}{3}}$

Verifique los resultados reemplazando primero el valor de 6 por “ $x$ ” en la ecuación original y luego sustituyendo el valor de 3 por “ $x$ ” en la ecuación original.

$& \text{Verify} \ x=6. && \text{Verify} \ x=3. \\\& x+ \sqrt{x-2}=4 && x+ \sqrt{x-2}=4 \\\& L.S.={\color{red}{6}}+ \sqrt{{\color{red}{6}}-2} \quad R.S.=4 && L.S.={\color{red}{3}}+ \sqrt{{\color{red}{3}}-2} \quad R.S.=4 \\\& L.S.=6+ \sqrt{{\color{red}{4}}} && L.S.=3+ \sqrt{{\color{red}{1}}} \\\& L.S.=6+{\color{red}{2}} && L.S.=3+{\color{red}{1}}=4 \\\& L.S.=8 && L.S.=4 \\\& R.S.=4 && R.S.=4 \\\& L.S.\ne R.S. && L.S.=R.S.$

El valor $x=6$ no satisfacía la ecuación original y no es una solución de la ecuación con radical. Se lo denomina una solución extraña . $x=3$ es una solución de la ecuación.

Vocabulario

Solución extraña: Una solución extraña es una solución de una ecuación con radicales que no satisface la ecuación original. Por lo tanto, se rechaza la solución como solución para la ecuación y se la llama solución extraña .

Ecuaciones con radicales: Una ecuaciones con radicales es una ecuación que tiene una variable debajo de un signo de radical.

Práctica guiada

1. Corrobore si $x=3$ y $x=-5$ son soluciones de la ecuación con radical:

$2\sqrt{x+6}+ \sqrt{2x+10}=2$

2. Resuelva la siguiente ecuación con radicales y verifique la solución o las soluciones de la ecuación.

$x- \sqrt{x-1}=7$

3. Resuelva la siguiente ecuación con radicales y verifique la solución o las soluciones de la ecuación.

$\sqrt{x+7}- \sqrt{x}=1$

Respuestas:

1. Verifique los resultados reemplazando primero el valor de 3 por “ $x$ ” en la ecuación original y luego sustituyendo el valor de -5 por “ $x$ ” en la ecuación original.

$&\text{Verify} \ x=3. && \text{Verify} \ x=-5. \\\& 2 \sqrt{x+6}+ \sqrt{2x+10}=2 && 2 \sqrt{x+6}+ \sqrt{2x+10}=2 \\\& L.S.=2 \sqrt{x+6}+ \sqrt{2x+10} \quad R.S.=2 && L.S.=2\sqrt{x+6}+ \sqrt{2x+10} \quad R.S.=2 \\\& L.S.=2 \sqrt{\left({\color{red}{3}}\right)+6}+ \sqrt{2\left({\color{red}{3}}\right)+10} && L.S.=2 \sqrt{\left({\color{red}{-5}}\right)+6}+ \sqrt{2\left({\color{red}{-5}}\right)+10} \\\& L.S.=2 \sqrt{{\color{red}{9}}}+ \sqrt{{\color{red}{16}}} && L.S.=2({\color{red}{1}})+ \sqrt{{\color{red}{0}}} \\\& L.S.=2({\color{red}{3}})+{\color{red}{4}} && L.S.=2({\color{red}{1}})+{\color{red}{0}} \\\& L.S.={\color{red}{6+4}} && L.S.={\color{red}{2+0}} \\\& L.S.=10 && L.S.=2 \\\& R.S.=2 && R.S.=2 \\\& L.S. \ne R.S. && L.S.=R.S.$

El valor $x=3$ no satisfacía la ecuación original y no es una solución de la ecuación con radical. Es una solución extraña. $x=-5$ es una solución.

2. $- \sqrt{x-1}=7-x$

$x-1&=49-14x+x^2$

$x^2-15x+50&=0$

$&(x-10)(x-5)=0 \\\& x={\color{red}{10}} \ or \ x={\color{red}{5}}$

$& \text{Verify} \ x=10. && \text{Verify} \ x=5. \\\& x- \sqrt{x-1}=7 && x- \sqrt{x-1}=7 \\\& L.S.=x- \sqrt{x-1} \quad R.S.=7 && L.S.=x- \sqrt{x-1} \quad R.S.=7 \\\& L.S.=({\color{red}{10}})- \sqrt{\left({\color{red}{10}}\right)-1} && L.S.=({\color{red}{5}})- \sqrt{\left({\color{red}{5}}\right)-1} \\\& L.S.={\color{red}{10}}- \sqrt{{\color{red}{9}}} && L.S.={\color{red}{5}}- \sqrt{{\color{red}{4}}} \\\& L.S.={\color{red}{10}}-{\color{red}{3}} && L.S.={\color{red}{5}}-{\color{red}{2}} \\\& L.S.=7 && L.S.=3 \\\& R.S.=7 && R.S.=7 \\\& L.S.=R.S. && L.S. \ne R.S.$

El valor $x=5$ no satisfacía la ecuación original y no es una solución de la ecuación con radical. Es una solución extraña. $x=10$ es una solución.

3. $\sqrt{x+7}- \sqrt{x}=1$

$\sqrt{x+7}&=1+ \sqrt{x}$

$\left(\sqrt{x+7}\right)^{\color{red}{2}}= \left(1+ \sqrt{x}\right)^{\color{red}{2}}$

$x+7&=1+2 \sqrt{x}+x$

$6&=2 \sqrt{x}$

$(6)^{\color{red}{2}}&= \left(2 \sqrt{x}\right)^{\color{red}{2}} \\\36&=4x$

$\frac{36}{{\color{red}{4}}}&= \frac{4x}{{\color{red}{4}}} \\\{\color{red}{9}}&=x$

$&\text{Verify} \ x=9. \\\&\sqrt{x+7}- \sqrt{x}=1 \\\& L.S.= \sqrt{x+7}- \sqrt{x} \quad R.S.=1 \\\& L.S.= \sqrt{\left({\color{red}{9}}\right)+7}- \sqrt{{\color{red}{9}}} \\\& L.S.= \sqrt{{\color{red}{16}}}- \sqrt{{\color{red}{9}}} \\\& L.S.={\color{red}{4-3}} \\\& L.S.={\color{red}{1}} \\\& L.S.=1 \\\& R.S.=1 \\\& L.S.=R.S.$

$x=9$ es una solución de la ecuación.

Práctica

¿Es $x=7$ una solución de $\sqrt{x+2}=-3$ ?
¿Es $x=1$ una solución de $\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2+3x}=1$ ?
¿Es $x=-3$ una solución de $\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2+3x}=1$ ?
¿Es $x=12$ una solución de $\sqrt{x+4}+8=x$ ?
¿Es $x=5$ una solución de $\sqrt{x+4}+8=x$ ?
¿Es $x=8$ una solución de $\sqrt{x+1}=1+ \sqrt{x-4}$ ?
¿Es $x=3$ una solución de $\sqrt{x+1}+ \frac{2}{\sqrt{x+1}}= \sqrt{x+6}$ ?

Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales y verifique la solución o las soluciones.

$x=3+ \sqrt{x-1}$
$\sqrt{x+1}=1+ \sqrt{x-4}$
$\sqrt{x}- \sqrt{x-16}=2$
$\sqrt{3x-2}-1= \sqrt{2x-3}$
$5 \sqrt{x-6}=x$
$x=5+ \sqrt{x-4}$
$\sqrt{x+2}=5- \sqrt{x-3}$
$\sqrt{x}+ \sqrt{x-9}=5$

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