Reflexiones

Aquí aprenderá acerca de las reflexiones geométricas.

Scott miró la siguiente imagen y afirmó que la imagen estaba reflejada alrededor del eje $y$ . ¿Está en lo correcto? Explique.

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CK-12 Foundation Chapter10ReflectionsA (Capítulo 10 Reflexiones A) *Este video solo está disponible en inglés

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CK-12 Foundation Chapter10ReflectionsB (Capítulo 10 Reflexiones B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una reflexión es un ejemplo de transformación que toma una forma (llamada preimagen) y la voltea alrededor de una línea (llamada línea de reflexión) para crear una forma nueva (llamada imagen).

Puede reflejar una línea alrededor de cualquier línea, pero las reflexiones más comunes son las siguientes:

reflexiones alrededor del eje $x$ : los valores de $y$ se multiplican por -1.
reflexiones alrededor del eje $y$ : los valores de $x$ se multiplican por -1.
reflexiones alrededor de la línea $y=x$ : los valores de $x$ e $y$ cambian de lugar.
reflexiones alrededor de la línea $y = -x$ . Los valores de $x$ e $y$ cambian de lugar y se multiplican por -1.

Ejemplo A

Describa la reflexión que se muestra en el diagrama a continuación.

Solución: La forma se refleja alrededor del eje Y. Analicemos los puntos de las formas.


Puntos en $WXYZ$	$W(-7, 5)$	$X(-1, 5)$	$Y(-2, 1)$	$Z(-6, 1)$
Puntos en $W^\prime X^\prime Y^\prime Z^\prime$	$W^\prime(7, 8)$	$X^\prime (1, 5)$	$Y^\prime(2, 1)$	$Z^\prime(6, 1)$

En la tabla anterior, todas las coordenadas $x$ se multiplican por -1. Siempre que se refleje una forma alrededor del eje Y, sus coordenadas $x$ se multiplicarán por -1.

Ejemplo B

Describa la reflexión del pentágono púrpura del diagrama a continuación.

Solución: El pentágono se refleja alrededor del eje X. Analicemos los puntos del pentágono.


Puntos en $DEFGH$	$D(3.5, 2)$	$E(5.4, 3)$	$F(5.5, 6)$	$G(2.3, 6)$	$H(1.4, 3.2)$
Puntos en $D^\prime E^\prime F^\prime G^\prime H^\prime$	$D^\prime(3.5, -2)$	$E^\prime(5.4, -3)$	$F^\prime(5.5, -6)$	$G^\prime(2.3, -6)$	$H^\prime(1.4, -3.2)$

En la tabla anterior, todas las coordenadas $x$ son las mismas pero las coordenadas $y$ se multiplican por -1. Esto sucederá cada vez que una forma se refleje alrededor del eje X.

Ejemplo C

Describa la reflexión en el diagrama a continuación.

Solución: La forma se refleja alrededor de la línea $y=x$ . Analicemos los puntos de la preimagen y la imagen reflejada.


Puntos en $GHIJKL$	$G(-1, 1)$	$H(-1, 2)$	$I(-4, 2)$	$J(-4, 8)$	$K(-5, 8)$	$L(-5, 1)$
Puntos en $G^\prime H^\prime I^\prime J^\prime K^\prime L^\prime$	$G^\prime(1, -1)$	$H^\prime(2, -1)$	$I^\prime(2, -4)$	$J^\prime(8, -4)$	$K^\prime(8, -5)$	$L^\prime(1, -5)$

Tenga en cuenta que todos los puntos de la preimagen invierten su orden (o lo intercambian) para formar los puntos correspondientes de la imagen reflejada. Así, por ejemplo, el punto $G$ de la preimagen está en (-1, 1) pero el punto $G^\prime$ correspondiente está en (1, -1) en la imagen reflejada. Los valores de $x$ y los valores de $y$ cambian de lugar cada vez que una forma se refleja alrededor de la línea $y=x$ .

Revisión del problema de concepto

Scott miró la siguiente imagen y afirmó que la imagen estaba reflejada alrededor del eje $y$ . ¿Está en lo correcto? Explique.

Scott está en lo correcto en cuanto que la preimagen se refleja alrededor del eje $y$ para formar la imagen trasladada. Puede saberlo porque todos los puntos son equidistantes de la línea de reflexión. Analicemos los puntos del trapezoide y veamos.

Punto en $ABCD$	Punto en $A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$
$A(-7, 4)$	$A^\prime(7, 4)$
$B(-3, 4)$	$B^\prime(3, 4)$
$C(-1, 1)$	$C^\prime(1, 1)$
$D(-9, 1)$	$D^\prime(9, 1)$

Todas las coordenadas $y$ para la imagen reflejada son las mismas que sus puntos correspondientes en la preimagen. Sin embargo, las coordenadas $x$ se multiplicaron por -1.

Vocabulario

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Reflexión: Una reflexión es un ejemplo de transformación que voltea cada punto de una forma sobre la misma línea.

Práctica guiada

1. Describa la reflexión del triángulo rosado del diagrama a continuación.

2. Describa la reflexión del polígono púrpura del diagrama a continuación.

3. Describa la reflexión del hexágono azul del diagrama a continuación.

Respuestas:

1. Analice los puntos de la preimagen y la imagen reflejada.


Puntos en $LMO$	$L(-2, 5)$	$M(6, 1)$	$O(-5, 1)$
Puntos en $L^\prime M^\prime O^\prime$	$L^\prime(-2, -5)$	$M^\prime(6, -1)$	$O^\prime(-5, -1)$

Observe que todas las coordenadas $y$ de la preimagen (triángulo púrpura) están multiplicadas por -1 para crear la imagen reflejada. La línea de reflexión es el eje $x$ .

2. Analice los puntos de la preimagen y la imagen reflejada.


Puntos en $AGHI$	$A(3, 7)$	$G(3, 4)$	$H(3, 2)$	$I(8, 2)$
Puntos en $A^\prime G^\prime H^\prime I^\prime$	$A^\prime(-3, 7)$	$G^\prime(-3, 4)$	$H^\prime(-3, 2)$	$I^\prime(-8, 2)$

Observe que todas las coordenadas $x$ de la preimagen (imagen 1) están multiplicadas por -1 para crear la imagen reflejada. La línea de reflexión es el eje $y$ .

3. Analice los puntos de la preimagen y la imagen reflejada.


Puntos en $ABCDEF$	$A(2, 4)$	$B(5, 4)$	$C(6, 2)$	$D(5, 0)$	$E(2, 0)$	$F(1, 2)$
Puntos en $A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime E^\prime F^\prime$	$A^\prime(-4, -2)$	$B^\prime(-4, -5)$	$C^\prime(-2, -6)$	$D^\prime(0, -5)$	$E^\prime(0, -2)$	$F^\prime(-2, -1)$

Observe que tanto las coordenadas $x$ como las coordenadas $y$ de la preimagen (imagen 1) cambian de lugar para crear la imagen reflejada. Los puntos también se multiplican por -1. La línea de reflexión es la línea $y = -x$ .

Práctica

Si los siguientes puntos se reflejaran alrededor del eje $x$ , ¿cuáles serían las coordenadas de los puntos reflejados? Represente estas reflexiones en un gráfico.

(3, 1)
(4, -2)
(-5, 3)
(-6, 4)

Si los siguientes puntos se reflejaran alrededor del eje $y$ , ¿cuáles serían las coordenadas de los puntos reflejados? Represente estas reflexiones en un gráfico.

(-4, 3)
(5, -4)
(-5, -4)
(3, 3)

Si los siguientes puntos se reflejaran alrededor de la línea $y=x$ , ¿cuáles serían las coordenadas de los puntos reflejados? Represente estas reflexiones en un gráfico.

(3, 1)
(4, -2)
(-5, 3)
(-6, 4)

Describa las siguientes reflexiones:

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