Reglas para las reflexiones

Aquí aprenderá la notación para describir una reflexión con una regla.

La siguiente figura muestra el patrón de dos peces. Escriba la regla de correspondencia para la reflexión de la imagen A a la imagen B.

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CK-12 Foundation Chapter10RulesforReflectionsA (Capítulo 10 Reglas para Reflexiones A) *Este video solo está disponible en inglés

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CK-12 Foundation Chapter10RulesforReflectionsB (Capítulo 10 Reglas para Reflexiones B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una reflexión es un ejemplo de transformación que toma una forma (llamada preimagen) y la voltea alrededor de una línea (llamada línea de reflexión) para crear una forma nueva (llamada imagen). Al examinar las coordenadas de la imagen reflejada, puede determinar la línea de reflexión. Las líneas de reflexión más comunes son el eje $x$ , el eje $y$ , o las líneas $y=x$ o $y=-x$ .

La preimagen se ha reflejado alrededor del eje $y$ . Esto significa que todas las coordenadas $x$ se multiplicaron por -1. Puede describir la reflexión en palabras o con la siguiente notación:

$r_{y-axis}(x,y) \rightarrow (-x,y)$

Observe que la notación le dice exactamente cómo cada punto $(x,y)$ cambia como consecuencia de la transformación.

Ejemplo A

Encuentre la imagen del punto (3, 2) que experimentó la reflexión alrededor de

a) el eje $x$ ,

b) el eje $y$ ,

c) la línea $y=x$ , y

d) la línea $y=-x$ .

Escriba la notación para describir la reflexión.

Solución:

a) Reflexión alrededor del eje $x$ : $r_{x-axis}(3,2) \rightarrow (3,-2)$

b) Reflexión alrededor del eje $y$ : $r_{y-axis}(3,2) \rightarrow (3,-2)$

c) Reflexión alrededor de la línea $y=x$ : $r_{y=x}(3,2) \rightarrow (2,3)$

d) Reflexión alrededor de la línea $y=-x$ : $r_{y=-x}(3,2) \rightarrow (-2,-3)$

Ejemplo B

Refleje la imagen A en el siguiente diagrama:

a) A través del eje $y$ y rotúlela $B$ .

b) A través del eje $x$ y rotúlela $O$ .

c) A través de la línea $y=-x$ y rotúlela $Z$ .

Escriba la notación para cada una para indicar el tipo de reflexión.

Solución:

a) Reflexión alrededor del eje $y$ : $r_{y-axis}A \rightarrow B=r_{y-axis}(x,y) \rightarrow (-x,y)$

b) Reflexión alrededor del eje $x$ : $r_{x-axis}A \rightarrow O=r_{x-axis}(x,y) \rightarrow (x,-y)$

c) Reflexión alrededor de $y=-x$ : $r_{y=-x}A \rightarrow Z=r_{y=-x}(x,y) \rightarrow (-y,-x)$

Ejemplo C

Escriba la notación que representa la reflexión de la preimagen a la imagen en el diagrama a continuación.

Solución:

Esta es una reflexión alrededor de la línea $y-=-x$ . La notación es $r_{y=-x}(x,y) \rightarrow (-y,-x)$ .

Revisión del problema de concepto

La siguiente figura muestra el patrón de dos peces. Escriba la regla de correspondencia para la reflexión de la imagen A a la imagen B.

Para responder esta pregunta, mire las coordenadas de la imagen A y la imagen B.


Imagen A	$A(-11.8, 5)$	$B(-11.8, 2)$	$C(-7.8, 5)$	$D(-4.9, 2)$	$E(-8.7, 0.5)$	$F(-10.4, 3.1)$
Imagen B	$A^\prime (-11.8,-5)$	$B^\prime(-11.8, -2)$	$C^\prime(-7.8, -5)$	$D^\prime(-4.9, -2)$	$E^\prime(-8.7, -0.5)$	$F^\prime(-10.4, -3.1)$

Observe que todas las coordenadas $y$ cambiaron de signo. Por lo tanto, la imagen A se reflejó alrededor del eje $x$ . Una regla para esta reflexión sería: $r_{x-axis}(x,y) \rightarrow (x,-y)$ .

Vocabulario

Reglas para las notaciones: Una regla para las notaciones tiene la siguiente forma $r_{y-axis}A \rightarrow B=r_{y-axis}(x,y) \rightarrow (-x,y)$ y le indica que la imagen A se ha reflejado alrededor del eje $y$ y las coordenadas $x$ se multiplicaron por -1.

Reflexión: Una reflexión es un ejemplo de transformación que voltea cada punto de una forma sobre la misma línea.

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Práctica guiada

1. Thomas describe una reflexión como un punto $J$ que se mueve de $J(-2, 6)$ a $J^\prime(-2, -6)$ . Escriba la notación para describir esta reflexión a Thomas.

2. Escriba la notación que representa la reflexión del diamante amarillo al diamante verde reflejado en el diagrama a continuación.

3. Karen estaba jugando con un programa de dibujo de su computadora. Creó los siguientes diagramas y luego quiso determinar las transformaciones. Escriba las reglas para las notaciones que representan la transformación del diagrama púrpura y azul al diagrama naranja y azul.

Respuestas:

1. $J: (-2, 6) \quad J^\prime: (-2, -6)$

Debido a que la coordenada $y$ se multiplica por -1 y la coordenada $x$ permanece igual, esta es una reflexión en el eje $x$ . La notación es: $r_{x-axis}J \rightarrow J^\prime=r_{x-axis} (-2,6) \rightarrow (-2,6)$

2. Para escribir la notación que describe la reflexión, elija un punto de la preimagen (el diamante amarillo) y luego el punto reflejado en el diamante verde para ver cómo se movió el punto. Observe que el punto E se muestra en el diagrama:

$E(-1,3) \rightarrow E^\prime(3,-1)$

Ya que ambas coordenadas $x$ e $y$ son números opuestos, la reflexión está en la línea $y=x$ . La notación para esta reflexión sería: $r_{y=x}(x,y) \rightarrow (y,x)$ .

3. Para escribir la notación que describe la transformación, elija un punto de la preimagen (el diagrama púrpura y azul) y luego el punto transformado en el diagrama naranja y azul para ver cómo se movió el punto. Observe que el punto $A$ se muestra en el diagrama:

$C(7,0) \rightarrow C^\prime(-7,0)$

Ya que ambas coordenadas $x$ solo se multiplicaron por -1, la transformación es una reflexión en el eje $y$ . La notación para esta reflexión sería: $r_{y-axis}(x,y) \rightarrow (-x,y)$ .

Práctica

Escriba la notación para describir el movimiento de los puntos en cada una de las reflexiones a continuación.

$S(1,5) \rightarrow S^\prime(-1,5)$
$W(-5,-1) \rightarrow W^\prime(5,-1)$
$Q(2,-5) \rightarrow Q^\prime(2,5)$
$M(4,3) \rightarrow M^\prime(-3,-4)$
$B(-4,-2) \rightarrow B^\prime(-2,-4)$
$A(3,5) \rightarrow A^\prime(-3,5)$
$C(1,2) \rightarrow C^\prime(2,1)$
$D(2,-5) \rightarrow D^\prime(5,-2)$
$E(3,1) \rightarrow E^\prime(-3,1)$
$F(-4,2) \rightarrow F^\prime(-4, -2)$
$G(1,3) \rightarrow G^\prime(1, -3)$

Escriba la notación que representa la reflexión de la preimagen a la imagen en el diagrama a continuación.

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