Rotaciones

Aquí aprenderá sobre rotaciones geométricas.

¿Cuál de las siguientes figuras representa una rotación? Explique.

Mire este video

Primero mire este video para aprender acerca de las rotaciones.

Haga clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation Chapter10RotationsA (Capítulo 10 Rotaciones A) *Este video solo está disponible en inglés

A continuación mire este video para ver algunos ejemplos.

Haga clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation Chapter10RotationsB (Capítulo 10 Rotaciones B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una rotación es un ejemplo de una transformación donde una figura se rota alrededor de un punto específico (llamado centro de rotación), una cantidad determinada de grados. La figura siguiente continuación muestra que la preimagen A se rotó $90^\circ$ alrededor del punto $A$ para formar la imagen rotada. El punto $A$ es el centro de rotación.

Para describir una rotación, necesita establecer cuántos grados se rota la preimagen, el centro de rotación y la dirección de rotación (sentido horario o antihorario). El centro de rotación más común es el origen. La siguiente tabla muestra qué sucede con los puntos cuando experimentan una rotación alrededor del origen. Los ángulos se dan en sentido antihorario.

Centro de rotación	Ángulo de rotación	Preimagen (Punto $P$ )	Imagen rotada (Punto $P^\prime$ )
(0, 0)	$90^\circ$ (o $-270^\circ$ )	$(x, y)$	$(-y, x)$
(0, 0)	$180^\circ$ (o $-180^\circ$ )	$(x, y)$	$(-x, -y)$
(0, 0)	$270^\circ$ (o $-90^\circ$ )	$(x, y)$	$(y, -x)$

Ejemplo A

Describa la rotación del triángulo azul del diagrama a continuación.

Solución: Al observar las medidas del ángulo, $\angle ABA^\prime=90^\circ$ . Por lo tanto, la preimagen, imagen A, se ha rotado $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del punto $B$ .

Ejemplo B

Describa la rotación de los triángulos del diagrama a continuación.

Solución: Al observar las medidas del ángulo, $\angle CAB^\prime + \angle B^\prime AC^\prime=180^\circ$ . El triángulo $ABC$ se ha rotado $180^\circ$ en sentido antihorario alrededor del centro de rotación Punto $A$ .

Ejemplo C

Describa la rotación en el diagrama a continuación.

Solución: Para describir la rotación en este diagrama, observe los puntos que se indican en la forma S.

Puntos $BC$ : $B(-3, 4)$ $C(-5, 0)$
Puntos $B^\prime C^\prime$ : $B^\prime (4, 3)$ $C^\prime (0, 5)$

Estos puntos representan una rotación de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen. Cada punto de coordenadas $(x, y)$ se convirtió en el punto $(y, -x)$ .

Revisión del problema de concepto

¿Cuál de las siguientes figuras representa una rotación? Explique.

Usted sabe que una rotación es una transformación que gira una figura alrededor de un punto fijo. Este punto fijo es el centro de giro o centro de rotación. En las figuras anteriores, las figuras 1 y 3 implican girar el corazón alrededor de un punto fijo. La figura 1 rota el corazón alrededor del punto $A$ . La figura 3 rota el corazón alrededor del punto directamente a la derecha de $A$ . La figura 2 hace una traslación, no una rotación.

Vocabulario

Centro de rotación: Un centro de rotación es el punto fijo alrededor del que gira una figura cuando experimenta una rotación.

Rotación: Una rotación es una transformación que rota (gira) una imagen una cantidad determinada alrededor de un punto determinado.

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Práctica guiada

1. Describa la rotación del triángulo rosado del diagrama a continuación.

2. Describa la rotación del polígono azul del diagrama a continuación.

3. Describa la rotación del hexágono verde del diagrama a continuación.

Respuestas:

1. Analice los puntos de la preimagen y la imagen rotada (el triángulo azul).


Puntos en $BCD$	$B(1, -1)$	$C(2, 6)$	$D(5, 1)$
Puntos en $B^\prime C^\prime D^\prime$	$B^\prime (1, 1)$	$C^\prime (-6, 2)$	$D^\prime (-1, 5)$

Estos puntos representan una rotación de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen. Cada punto de coordenadas $(x, y)$ se convirtió en el punto $(-y, x)$ .

2. Para esta imagen, observe la rotación. No fue rotada alrededor del origen sino alrededor del punto $A$ . Podemos medir el ángulo de rotación:

El polígono azul se rota alrededor del punto $A \ 145^\circ$ en sentido horario. Podría decirse que el polígono azul se rotó $145^\circ$ en sentido horario para formar el polígono naranja.

3. Para esta imagen, observe la rotación. No fue rotada alrededor del origen sino alrededor del punto $A$ . Podemos medir el ángulo de rotación:

El polígono verde se rota alrededor del punto $D \ 90^\circ$ en sentido horario. Podría decirse que el hexágono verde se rotó $90^\circ$ en sentido horario para formar el polígono naranja.

Práctica

Si los siguientes puntos se rotaran alrededor del origen $180^\circ$ en sentido antihorario, ¿cuáles serían las coordenadas de los puntos rotados?

(3, 1)
(4, -2)
(-5, 3)
(-6, 4)
(-3, -3)

Si los siguientes puntos se rotaran alrededor del origen $90^\circ$ en sentido horario, ¿cuáles serían las coordenadas de los puntos rotados?

(-4, 3)
(5, -4)
(-5, -4)
(3, 3)
(-8, -9)

Describa las siguientes rotaciones:

¿Por qué no es necesario especificar la dirección cuando se rota $180^\circ$ ?

Prev Next