Reglas para las rotaciones

Aquí aprenderá la notación utilizada para las rotaciones.

La siguiente figura muestra el patrón de dos peces. Escriba la regla de correspondencia para la rotación de la imagen A a la imagen B.

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CK-12 Foundation Chapter10RulesforRotationsA (Capítulo 10 Reglas para Rotaciones A) *Este video solo está disponible en inglés

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CK-12 Foundation Chapter10RulesforRotationsB (Capítulo 10 Reglas para Rotaciones B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una rotación es un ejemplo de una transformación donde una figura se rota alrededor de un punto específico (llamado centro de rotación), una cantidad determinada de grados. A continuación se muestran rotaciones comunes alrededor del origen:

Centro de rotación	Ángulo de rotación	Preimagen (Punto $P$ )	Imagen rotada (Punto $P^\prime$ )	Notación (Punto $P^\prime$ )
(0, 0)	$90^\circ$ (o $-270^\circ$ )	$(x, y)$	$(-y, x)$	$(x, y) \rightarrow (-y, x)$
(0, 0)	$180^\circ$ (o $-180^\circ$ )	$(x, y)$	$(-x, -y)$	$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$
(0, 0)	$270^\circ$ (o $-90^\circ$ )	$(x, y)$	$(y, -x)$	$(x, y) \rightarrow (y, -x)$

Puede describir las rotaciones en palabras o mediante notación. Considere la siguiente imagen:

Observe que la preimagen se rota alrededor del origen $90^\circ$ en sentido antihorario. Si tuviera que describir la imagen rotada utilizando notación, escribiría lo siguiente:

$R_{90^\circ}(x,y)=(-y,x)$

Ejemplo A

Encuentre una imagen del punto (3, 2) que experimentó una rotación en sentido horario:

a) alrededor del origen en $90^\circ$ ,

b) alrededor del origen en $180^\circ$ , y

c) alrededor del origen en $270^\circ$ .

Escriba la notación para describir la rotación.

Solución:

a) Rotación alrededor del origen en $90^\circ : R_{90^\circ}(x,y)=(-y,x)$

b) Rotación alrededor del origen en $180^\circ : R_{180^\circ}(x,y)=(-x,-y)$

c) Rotación alrededor del origen en $270^\circ : R_{270^\circ}(x,y)=(y,-x)$

Ejemplo B

Rote la imagen A en el siguiente diagrama:

a) alrededor del origen en $90^\circ$ , y rotúlela $B$ .

b) en el origen en $180^\circ$ , y rotúlela $O$ .

c) alrededor del origen en $270^\circ$ , y rotúlela $Z$ .

Escriba la notación para cada una, para indicar el tipo de rotación.

Solución:

a) Rotación alrededor del origen en $90^\circ$ : $R_{90^\circ}A \rightarrow B=R_{90^\circ}(x,y) \rightarrow (-y,x)$

b) Rotación alrededor del origen en $180^\circ$ : $R_{180^\circ}A \rightarrow O=R_{180^\circ}(x,y) \rightarrow (-x,-y)$

c) Rotación alrededor del origen en $270^\circ$ : $R_{270^\circ}A \rightarrow Z=R_{270^\circ}(x,y) \rightarrow (y,-x)$

Ejemplo C

Escriba la notación que representa la rotación de la preimagen A a la imagen rotada J en el diagrama a continuación.

Primero, elija un punto del diagrama para utilizarlo y ver cómo se rota.

$E: (-1, 2) \quad E^\prime: (1, -2)$

Observe cómo ambas coordenadas $x$ e $y$ se multiplican por -1. Esto indica que la preimagen A se refleja alrededor del origen en $180^\circ$ en sentido antihorario para formar la imagen rotada J. Por lo tanto, la rotación es $R_{180^\circ}A \rightarrow J=R_{180^\circ}(x,y) \rightarrow (-x,-y)$ .

Revisión del problema de concepto

La siguiente figura muestra el patrón de dos peces. Escriba la regla de correspondencia para la rotación de la imagen A a la imagen B.

Observe que la medida del ángulo es $90^\circ$ y la dirección es en sentido horario. Por lo tanto, la imagen A, se ha rotado $-90^\circ$ para formar la imagen B. Una regla para esta rotación sería: $R_{270^\circ}(x,y)=(-y,x)$ .

Vocabulario

Reglas para las notaciones: Una regla para las notaciones tiene la siguiente forma $R_{180^\circ}A \rightarrow O=R_{180^\circ}(x,y) \rightarrow (-x,-y)$ y le indica que la imagen A se rotó alrededor del origen y que ambas coordenadas $x$ e $y$ se multiplicaron por -1.

Centro de rotación: Un centro de rotación es el punto fijo alrededor del que gira una figura cuando experimenta una rotación.

Rotación: Una rotación es una transformación que rota (gira) una imagen una cantidad determinada alrededor de un punto determinado.

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Práctica guiada

1. Thomas describe una rotación como un punto $J$ que se mueve de $J(-2, 6)$ a $J^\prime(6, 2)$ . Escriba la notación para describir esta rotación a Thomas.

2. Escriba la notación que representa la rotación del diamante amarillo al diamante verde rotado en el diagrama a continuación.

3. Karen estaba jugando con un programa de dibujo de su computadora. Creó los siguientes diagramas y luego quiso determinar las transformaciones. Escriba las reglas para las notaciones que representan la transformación del diagrama púrpura y azul al diagrama naranja y azul.

Respuestas:

1. $J: (-2, 6) \quad J^\prime: (6, 2)$

Debido a que la coordenada $x$ se multiplica por -1 y la coordenada $y$ permanece igual, y finalmente las coordenadas $x$ e $y$ cambian de lugar, esta es una rotación alrededor del origen de $270^\circ$ o $-90^\circ$ . La notación es: $R_{270^\circ}J \rightarrow J^\prime=R_{270^\circ}(x,y) \rightarrow (y,-x)$

2. Para escribir la notación que describe la rotación, elija un punto de la preimagen (el diamante amarillo) y luego el punto rotado en el diamante verde para ver cómo se movió el punto. Observe que el punto $E$ se muestra en el diagrama:

$E(-1,3) \rightarrow E^\prime(-3,-1)$

Ya que ambas coordenadas $x$ e $y$ tienen ubicaciones invertidas y que la coordenada $y$ se multiplicó por -1, la rotación es alrededor del origen y es de $90^\circ$ . La notación para esta rotación sería: $R_{90^\circ}(x,y) \rightarrow (-y,x)$ .

3. Para escribir la notación que describe la transformación, elija un punto de la preimagen (el diagrama púrpura y azul) y luego el punto transformado en el diagrama naranja y azul para ver cómo se movió el punto. Observe que el punto $C$ se muestra en el diagrama:

$C(7,0) \rightarrow C^\prime(0,-7)$

Debido a que las coordenadas $x$ solo se multiplicaron por -1 y luego las coordenadas $x$ y $y$ cambiaron de lugar, la transformación es una rotación alrededor del origen de $270^\circ$ . La notación para esta rotación sería: $R_{270^\circ}(x,y) \rightarrow (y,-x)$ .

Práctica

Complete la tabla siguiente:

Punto de inicio	$90^\circ$ de rotación	$180^\circ$ de rotación	$270^\circ$ de rotación	$360^\circ$ de rotación
1. (1, 4)
2. (4, 2)
3. (2, 0)
4. (-1, 2)
5. (-2, -3)

Escriba la notación que representa la rotación de la preimagen a la imagen de cada diagrama a continuación.

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