Dilataciones

Aquí aprenderá sobre dilataciones geométricas.

¿Cuál de las siguientes figuras representa una dilatación? Explique.

Mire este video

Primero mire este video para aprender acerca de las dilataciones.

Haga clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation Chapter10DilationsA (Capítulo 10 Dilataciones A) *Este video solo está disponible en inglés

A continuación mire este video para ver algunos ejemplos.

Haga clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation Chapter10DilationsB (Capítulo 10 Dilataciones B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una dilatación es un tipo de transformación que agranda o reduce una figura (llamada preimagen) para crear una figura nueva (llamada imagen). El factor de escala, r, determina cuánto más grande o más pequeña será la imagen dilatada en comparación con la preimagen. La figura a continuación muestra que la imagen $A^\prime$ es una dilatación con factor de escala 2.

Las dilataciones también necesitan un punto central. El punto central es el centro de dilatación. Usted utiliza el punto central para medir las distancias hasta la preimagen y la imagen dilatada. Estas distancias son las que determinan el factor de escala.

Ejemplo A

Describa la dilatación en el diagrama a continuación. El centro de dilatación es el punto $H$ .

Solución:

Compare las longitudes de los lados correspondientes para determinar el factor de escala. $\overline{IJ}$ tiene 2 unidades de largo y $\overline{I^\prime J^\prime}$ tiene 6 unidades de largo. $\frac{6}{2}=3$ ; por lo tanto, el factor de escala es 3. En consecuencia, el punto central H se utiliza para dilatar $\triangle IJK$ a $\triangle I^\prime J^\prime K^\prime$ por un factor de 3.

Ejemplo B

Utilizando la siguiente medida y el factor de escala, determine la medida de la imagen dilatada.

$m \overline{A B} &= 15 \ cm \\\r &=\frac{1}{3}$

Solución: Necesita multiplicar el factor de escala por la medida de $AB$ para poder encontrar la medida de la imagen dilatada $A^\prime B^\prime$ .

$m \overline{A^\prime B^\prime} = (r) m \overline{A B}$

$& m \overline{A^\prime B^\prime}=\frac{1}{3}(15) \\\& m \overline{A^\prime B^\prime}= 5 \ cm$

Ejemplo C

Utilizando la siguiente medida y el factor de escala, determine la medida de la preimagen.

$m \overline{H^\prime I^\prime} &= 24 \ cm \\\r &=3$

Solución: Aquí necesita dividir la medida de $H^\prime I^\prime$ por el factor de escala para poder encontrar la medida de la preimagen $HI$ .

$m \overline{H^\prime I^\prime} = (r) m \overline{H I}$

$&24 = 2m\overline{H I} \\\& m \overline{H I}=\frac{24}{2} \\\& m \overline{H I}= 12 \ cm$

Revisión del problema de concepto

¿Cuál de las siguientes figuras representa una dilatación? Explique.

Usted sabe que una dilatación es una transformación que produce una imagen de la misma forma, pero más grande o más pequeña. Ambas figuras anteriores representan objetos con dilataciones. En la figura con los triángulos, el factor de escala es 3.

La segunda figura con cuadrados también representa una dilatación. En esta figura, el punto central $(3,-2)$ se utiliza para dilatar el cuadrado pequeño por un factor de $2$ .

Vocabulario

Punto central: El punto central es el centro de la dilatación. Usted utiliza el punto central para medir las distancias hasta la preimagen y a la imagen dilatada. Estas distancias son las que determinan el factor de escala.

Dilatación: Una dilatación es una transformación que agranda o reduce el tamaño de una figura.

Factor de escala: El factor de escala determina cuánto más grande o más pequeña será la imagen dilatada en comparación con la preimagen. El factor de escala suele utilizar el símbolo $r$ .

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Práctica guiada

1. Utilizando la siguiente medida y el factor de escala, determine la medida de la preimagen.

$m \overline{T^\prime U^\prime}&=12 \ cm \\\r&= 4 \ cm$

2. Describa la dilatación en el diagrama a continuación.

3. El cuadrilátero $STUV$ tiene los vértices $S(-1, 3), T(2, 0), U(-2, -1),$ y $V(-3, 1)$ . El cuadrilátero experimenta una dilatación centrada en el origen con un factor de escala de $\frac{8}{5}$ . Bosqueje la preimagen y la imagen dilatada.

Respuestas:

1. Aquí necesita dividir la medida de $H^\prime I^\prime$ por el factor de escala para poder encontrar la medida de la preimagen $HI$ .

$m \overline{T^\prime U^\prime} = |r| m \overline{T U}$

$&12 = 2m\overline{T U} \\\& m \overline{T U}=\frac{12}{4} \\\& m \overline{T U}= 3 \ cm$

2. Mire el siguiente diagrama:

En la figura, el punto central $D$ se utiliza para dilatar $A$ por un factor de $\frac{1}{2}$ .

3. Mire el siguiente diagrama:

Práctica

Calcule la medida de la imagen dilatada a partir de la siguiente información:

$m \overline{A B} &= 12 \ cm \\\r&=2$

$m \overline{C D} &= 25 \ cm \\\r&=\frac{1}{5}$

$m \overline{E F} &= 18 \ cm \\\r&=\frac{2}{3}$

$m \overline{G H} &= 18 \ cm \\\r&=3$

$m \overline{I J} &= 100 \ cm \\\r&=\frac{1}{10}$

Calcule la medida de la preimagen a partir de la siguiente información:

$m \overline{K^\prime L^\prime} &= 48 \ cm \\\r&=4$

$m \overline{M^\prime N^\prime} &= 32 \ cm \\\r&=4$

$m \overline{O^\prime P^\prime} &= 36 \ cm \\\r&=6$

$m \overline{Q^\prime R^\prime} &= 20 \ cm \\\r&=\frac{1}{4}$

$m \overline{S^\prime T^\prime} &= 40 \ cm \\\r&=\frac{4}{5}$

Describa las siguientes dilataciones:

Prev Next