Reglas para las dilataciones

Aquí aprenderá la notación para describir una dilatación.

La siguiente figura muestra una dilatación de dos trapezoides. Escriba la regla de correspondencia para la dilatación de la imagen A a la imagen B.

Mire este video

Primero mire este video para aprender acerca de las reglas para las dilataciones.

Haga clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation Chapter10RulesforDilationsA (Capítulo 10 Reglas para Dilataciones A) *Este video solo está disponible en inglés

A continuación mire este video para ver algunos ejemplos.

Haga clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation Chapter10RulesforDilationsB (Capítulo 10 Reglas para Dilataciones B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una dilatación es un tipo de transformación que agranda o reduce una figura (llamada preimagen) para crear una figura nueva (llamada imagen). El factor de escala, r, determina cuánto más grande o más pequeña será la imagen dilatada en comparación con la preimagen.

Mire el siguiente diagrama:

La imagen A experimentó una dilatación centrada en el origen con un factor de escala de 2. Observe que las coordenadas de todos los puntos de la imagen dilatada son el doble de las coordenadas de la preimagen. Una dilatación con un factor de escala $k$ centrada en el origen puede describirse utilizando la siguiente notación:

$D_k(x, y)=(kx, ky)$

$k$ siempre será un valor mayor de 0.

Factor de escala, $k$	Cambio de tamaño de la preimagen
$k>1$	La imagen dilatada es más grande que la preimagen
$0<k<1$	La imagen dilatada es más pequeña que la preimagen
$k=1$	La imagen dilatada tiene el mismo tamaño que la preimagen

Ejemplo A

La regla de correspondencia para la dilatación aplicada en el siguiente triángulo es $(x, y) \rightarrow (1.5x, 1.5y)$ . Trace la imagen dilatada.

Solución: Con un factor de escala de 1.5, cada coordenada de los puntos se multiplicará por 1.5.

$& \text{Image} \ A \qquad \qquad \ \ \ A(3, 5) \quad \qquad \ \ B(4, 2) \quad \qquad \ \ \ C(1, 1) \\\& \text{Dilation Image} \qquad A^\prime(4.5, 7.5) \qquad B^\prime(6, 3) \qquad C^\prime(1.5, 1.5)$

La imagen dilatada se ve de la siguiente manera:

Ejemplo B

La regla de correspondencia para la dilatación aplicada en el siguiente diagrama es $(x, y) \rightarrow \left(\frac{1}{3}x, \frac{1}{3}y\right)$ . Trace la imagen dilatada.

Solución: Con un factor de escala de $\frac{1}{3}$ , cada punto coordinado se multiplicará por $\frac{1}{3}$ .

$& \text{Image} \ D \qquad \qquad \ \ \ D(-3, 7) \quad \qquad E(-1, 3) \quad \qquad F(-7, 5) \quad \qquad \ \ G(-5, 1) \\\& \text{Dilation Image} \qquad D^\prime(-1, 2.3) \qquad E^\prime(-0.3, 1) \qquad F^\prime(-2.3, 1.7) \qquad G^\prime(-1.7, 0.3)$

La imagen dilatada se ve de la siguiente manera:

Ejemplo C

Escriba la notación que representa la dilatación de la preimagen A a la imagen dilatada J en el diagrama a continuación.

Solución: Primero, elija un punto del diagrama para utilizarlo y ver cómo se vio afectado por la dilatación.

$C:(-7, 5) \quad C^\prime: (-1.75, 1.25)$

Observe cómo ambas coordenadas $x$ e $y$ se multiplican por $\frac{1}{4}$ . Esto indica que la preimagen A experimenta una dilatación centrada en el origen con un factor de escala de $\frac{1}{4}$ para formar la imagen dilatada J. Por lo tanto, la notación de la dilatación es $(x, y) \rightarrow \left(\frac{1}{4}x, \frac{1}{4}y\right)$ .

Revisión del problema de concepto

Mire los puntos en cada imagen:

$& \text{Image} \ A \qquad \ B(-9, 6) \quad \qquad C(-5, 6) \quad \qquad D(-5, -1) \qquad \quad \ \ E(-10, -3) \\\& \text{Image} \ B \qquad B^\prime(-4.5, 3) \qquad C^\prime(-2.5, 3) \qquad D^\prime(-2.5, -0.5) \qquad E^\prime(-5, -1.5)$

Observe que las coordenadas en la imagen B (imagen dilatada) son $\frac{1}{2}$ de las de la imagen A. Por lo tanto, la imagen A experimenta una dilatación centrada en el origen con el factor de escala $\frac{1}{2}$ . Una regla de correspondencia para esta dilatación sería: $(x, y) \rightarrow \left(\frac{1}{2}x, \frac{1}{2}y\right)$ .

Vocabulario

Reglas para las notaciones: Una regla para las notaciones tiene la siguiente forma $D_k(x, y)=(kx, ky)$ y le indica que la preimagen experimentó una dilatación centrada en el origen con un factor de escala de $k$ . Si $k$ es mayor de uno, la imagen dilatada será más grande que la preimagen. Si $k$ está entre 0 y 1, la imagen dilatada será más pequeña que la preimagen. Si $k$ es igual a 1, tendrá una imagen dilatada congruente con la preimagen. La regla de correspondencia que corresponde a la notación de dilatación sería: $(x, y) \rightarrow (kx, ky)$

Punto central: El punto central es el centro de la dilatación. Usted utiliza el punto central para medir las distancias hasta la preimagen y a la imagen dilatada. Estas distancias son las que determinan el factor de escala.

Dilatación: Una dilatación es una transformación que agranda o reduce el tamaño de una figura.

Factor de escala: El factor de escala determina cuánto más grande o más pequeña será la imagen dilatada en comparación con la preimagen. El factor de escala suele utilizar el símbolo $r$ .

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Práctica guiada

1. Thomas describe una dilatación de la línea $JT$ con vértices $J(-2, 6)$ a $T(6, 2)$ a la línea $J^\prime T^\prime$ con vértices $J^\prime(-4, 12)$ y $T^\prime(12, 4)$ . Escriba la notación para describir esta dilatación a Thomas.

2. Dados los puntos $A(12, 8)$ y $B(8, 4)$ en una línea que experimenta una dilatación para producir $A^\prime(6, 4)$ y $B^\prime(4, 2)$ , escriba la notación que representa la dilatación.

3. Janet estaba jugando con un programa de dibujo de su computadora. Creó los siguientes diagramas y luego quiso determinar las transformaciones. Escriba las reglas para las notaciones que representan la transformación del diagrama púrpura y azul al diagrama naranja y azul.

Respuestas:

Debido a que las coordenadas $x$ e $y$ se multiplican por 2, el factor de escala es 2. La notación de la correspondencia es: $(x, y)\rightarrow (2x, 2y)$

2. Para escribir la notación que describe la dilatación, elija un punto de la preimagen y luego el punto correspondiente en la imagen dilatada para ver cómo se movió el punto. Observe que el punto $EA$ es:

$A(12, 8) \rightarrow A^\prime(6, 4)$

Ya que ambas coordenadas $x$ e $y$ se multiplican por $\frac{1}{2}$ , la dilatación con centro en el origen tiene un factor de escala de $\frac{1}{2}$ . La notación para esta dilatación sería: $(x, y) \rightarrow \left(\frac{1}{2}x, \frac{1}{2}y \right)$ .

3. Para escribir la notación que describe la dilatación, elija un punto de la preimagen A y luego el punto correspondiente en la imagen dilatada $A^\prime$ para ver cómo cambió el punto. Observe que el punto $E$ se muestra en el diagrama:

$E(-5, -3) \rightarrow E^\prime(-1, -0.6)$

Ya que ambas coordenadas $x$ e $y$ se multiplican por $\frac{1}{5}$ , la dilatación con centro en el origen tiene un factor de escala de $\frac{1}{5}$ . La notación para esta dilatación sería: $(x, y) \rightarrow \left(\frac{1}{5}x, \frac{1}{5}y \right)$ .

Práctica

Complete la siguiente tabla. Asuma que el centro de dilatación es el origen.

Punto de inicio	$D_2$	$D_5$	$D_{\frac{1}{2}}$	$D_{\frac{3}{4}}$
1. (1, 4)
2. (4, 2)
3. (2, 0)
4. (-1, 2)
5. (-2, -3)
6. (9, 4)
7. (-1, 3)
8. (-5, 2)
9. (2, 6)
10. (-5, 7)

Escriba la notación que representa la dilatación de la preimagen a la imagen de cada diagrama a continuación.

Prev Next