Transformaciones compuestas

Aquí aprenderá sobre transformaciones compuestas.

Mire el siguiente diagrama. Involucra dos traslaciones. Identifique las dos traslaciones del triángulo $ABC$ .

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Primero mire este video para aprender acerca de las transformaciones compuestas.

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CK-12 Foundation Chapter10CompositeTransformationsA (Capítulo 10 Transformaciones compuestas A) *Este video solo está disponible en inglés

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CK-12 Foundation Chapter10CompositeTransformationsB (Capítulo 10 Transformaciones compuestas B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una transformación compuesta es cuando se llevan a cabo dos o más transformaciones en una figura (llamada preimagen) para producir una figura nueva (llamada imagen).

Ejemplo A

Describa las transformaciones en el diagrama a continuación. Las transformaciones involucran una reflexión y una rotación.

Solución: La primera línea $AB$ se rota alrededor del origen $90^\circ$ en sentido antihorario.

Luego, la línea $A^\prime B^\prime$ se refleja alrededor del eje $y$ para producir la línea $A^{\prime \prime}B^{\prime \prime}$ .

Ejemplo B

Describa las transformaciones en el diagrama a continuación.

Solución: La bandera en el diagrama S se rota alrededor del origen $180^\circ$ para producir la bandera T. Usted lo sabe porque si mira un punto notará que ambas coordenadas $x$ y $y$ están multiplicadas por -1, lo que es consistente con una $180^\circ$ rotación alrededor del origen. La bandera T luego se refleja en la línea $x = -8$ para producir la bandera U.

Ejemplo C

El triángulo $ABC$ donde los vértices de $\Delta ABC$ son $A(-1, -3)$ , $B(-4, -1)$ y $C(-6, -4)$ experimenta una composición de transformaciones descritas como:

a) una traslación de 10 unidades hacia la derecha y después

b) una reflexión en el eje $x$ .

Trace el diagrama para representar estas transformaciones compuestas. ¿Cuáles son los vértices del triángulo después de aplicar ambas transformaciones?

Solución:

El triángulo $A^{\prime \prime} B^{\prime \prime} C^{\prime \prime}$ es el triángulo final después de aplicar todas las transformaciones. Tiene los vértices $A^{\prime \prime}(9, 3)$ , $B^{\prime \prime}(6, 1)$ y $C^{\prime \prime}(4, 4)$ .

Revisión del problema de concepto

$\Delta ABC$ se mueve 6 unidades hacia la izquierda y 5 hacia abajo para producir el $\Delta A^\prime B^\prime C^\prime$ . Luego $\Delta A^\prime B^\prime C^\prime$ se mueve 14 unidades hacia la derecha y 3 hacia arriba para producir el $\Delta A^{\prime \prime} B^{\prime \prime} C^{\prime \prime}$ . Estas traslaciones se representan con las flechas azules en el diagrama.

En total, $\Delta ABC$ se mueve 8 unidades hacia la derecha y 2 hacia abajo para producir el $\Delta A^{\prime \prime} B^{\prime \prime} C^{\prime \prime}$ . Las traslaciones totales para este movimiento se representan con la flecha verde del diagrama anterior.

Vocabulario

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Dilatación: Una dilatación es una transformación que agranda o reduce el tamaño de una figura.

Traslación: Una traslación es un ejemplo de transformación que mueve cada punto de una forma la misma distancia y en la misma dirección. A las traslaciones también se las conoce como desplazamientos .

Rotación: Una rotación es una transformación que rota (gira) una imagen una cantidad determinada alrededor de un punto determinado.

Reflexión: Una reflexión es un ejemplo de transformación que voltea cada punto de una forma sobre la misma línea.

Transformación compuesta: Una transformación compuesta es cuando se combinan dos o más transformaciones para formar una nueva imagen a partir de la preimagen.

Práctica guiada

1. Describa las transformaciones en el diagrama a continuación. Las transformaciones involucran una rotación y una reflexión.

2. El triángulo $XYZ$ tiene coordenadas $X (1, 2)$ , $Y (-3, 6)$ y $Z (4, 5)$ . El triángulo experimenta una rotación de 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia abajo para formar el triángulo $X^\prime Y^\prime Z^\prime$ . Luego, el triángulo $X^\prime Y^\prime Z^\prime$ se refleja alrededor del eje $y$ para formar el triángulo $X^{\prime \prime} Y^{\prime \prime} Z^{\prime \prime}$ . Trace el diagrama de esta transformación compuesta y determine los vértices del triángulo $X^{\prime \prime} Y^{\prime \prime} Z^{\prime \prime}$ .

3. Las coordenadas de los vértices de $\Delta JAK$ son $J(1, 6)$ , $B(2, 9)$ y $C(7, 10)$ .

a) Trace y rotule $\Delta JAK$ .

b) $\Delta JAK$ se refleja alrededor de la línea $y=x$ . Trace y establezca las coordenadas de $\Delta J^\prime A^\prime K^\prime$ .

c) $\Delta J^\prime A^\prime K^\prime$ se refleja alrededor del eje $x$ . Trace y establezca las coordenadas de $\Delta J^{\prime \prime} A^{\prime \prime} K^{\prime \prime}$ .

d) $\Delta J^{\prime \prime} A^{\prime \prime} K^{\prime \prime}$ experimenta una traslación de 5 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Trace y establezca las coordenadas de $\Delta J^{\prime \prime \prime} A^{\prime \prime \prime} K^{\prime \prime \prime}$ .

Respuestas:

1. Las transformaciones involucran una reflexión y una rotación. La primera línea $AB$ se refleja alrededor del eje $y$ para producir la línea $A^\prime B^\prime$ .

Luego, la línea $A^\prime B^\prime$ se rota alrededor del origen $90^\circ$ en sentido antihorario para producir la línea $A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}$ .

Práctica

Un punto $X$ tiene coordenadas (-1, -8). El punto se refleja alrededor del eje $y$ para formar $X^\prime$ . $X^\prime$ se traslada 4 unidades hacia la derecha y 6 unidades hacia arriba para formar $X^{\prime \prime}$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $X^\prime$ y $X^{\prime \prime}$ ?
Un punto $A$ tiene coordenadas (2, -3). El punto se traslada 3 unidades hacia la izquierda y 5 unidades hacia arriba para formar $A^\prime$ . $A^\prime$ se refleja alrededor del eje $x$ para formar $A^{\prime \prime}$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $A^\prime$ y $A^{\prime \prime}$ ?
Un punto $P$ tiene coordenadas (5, -6). El punto se refleja alrededor de la línea $y = -x$ para formar $P^\prime$ . $P^\prime$ se rota alrededor del origen $90^\circ$ en sentido horario para formar $P^{\prime \prime}$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $P^\prime$ y $P^{\prime \prime}$ ?
La línea $JT$ tiene coordenadas $J(-2, -5)$ y $T(2, 3)$ . El segmento se rota alrededor del origen $180^\circ$ para formar $J^\prime T^\prime$ . $J^\prime T^\prime$ se traslada 6 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo para formar $J^{\prime \prime} T^{\prime \prime}$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $J^\prime T^\prime$ y $J^{\prime \prime} T^{\prime \prime}$ ?
La línea $SK$ tiene coordenadas $S(-1, -8)$ y $K(1, 2)$ . El segmento se traslada 3 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba para formar $S^\prime K^\prime$ . $S^\prime K^\prime$ se rota alrededor del origen $90^\circ$ en sentido antihorario para formar $S^{\prime \prime} K^{\prime \prime}$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $S^\prime K^\prime$ y $S^{\prime \prime} K^{\prime \prime}$ ?
Un punto $K$ tiene coordenadas (-1, 4). El punto se refleja alrededor de la línea $y=x$ para formar $K^\prime$ . $K^\prime$ se rota alrededor del origen $270^\circ$ en sentido horario para formar $K^{\prime \prime}$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $K^\prime$ y $K^{\prime \prime}$ ?

Describa las siguientes transformaciones compuestas:

Investigue qué sucede cuando refleja una forma dos veces sobre un par de líneas paralelas. ¿Qué transformación se podría haber llevado a cabo para obtener el mismo resultado?
Investigue qué sucede cuando refleja una forma dos veces sobre un par de líneas que se intersecan. ¿Qué transformación se podría haber llevado a cabo para obtener el mismo resultado?
Investigue qué sucede cuando refleja una forma sobre el eje X y luego sobre el eje Y. ¿Qué transformación se podría haber llevado a cabo para obtener el mismo resultado?
Una composición de una reflexión y una traslación se suele llamar una reflexión por deslizamiento. Cree un ejemplo de reflexión por deslizamiento. ¿Por qué cree que se llama reflexión por deslizamiento ?

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