Orden de las transformaciones compuestas

Aquí investigará si el orden con el que se llevan a cabo las transformaciones es relevante o no al realizar una transformación compuesta.

El cuadrilátero $WXYZ$ tiene coordenadas $W(-5, -5), X(-2, 0), Y(2, 3)$ y $Z(-1, 3)$ . Dibuje el cuadrilátero en el plano cartesiano.

El cuadrilátero experimenta una dilatación centrada en el origen con un factor de escala de $\frac{1}{3}$ y luego se lo traslada 4 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia abajo. Muestre la imagen resultante.

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CK-12 Foundation Chapter10OrderofCompositeTransformationsA (Capítulo 10 Orden de Transformaciones Compuestas A) *Este video solo está disponible en inglés

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CK-12 Foundation Chapter10OrderofCompositeTransformationsB (Capítulo 10 Orden de Transformaciones Compuestas B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una transformación compuesta es cuando se llevan a cabo dos o más transformaciones en una figura (llamada preimagen) para producir una figura nueva (llamada imagen).

Imagine que rota, dilata y luego traslada un rectángulo de vértices $A(1, 1), B(1, 3), C(5, 3)$ y $D(5, 1)$ . Acabará teniendo un diagrama similar al que se encuentra a continuación:

Si toma la misma preimagen y la rota, traslada y finalmente la dilata, podría acabar teniendo el siguiente diagrama:

Por lo tanto, el orden es importante cuando realiza una transformación compuesta. Recuerde que la transformación compuesta involucra una serie de una o más transformaciones en las cuales, cada transformación después de la primera se realiza sobre la imagen transformada. Solo la primer transformación se llevará a cabo con la preimagen inicial.

Ejemplo A

La línea $\overline{AB}$ trazada de (-4, 2) a (3, 2) se reflejó alrededor del eje $x$ . Luego experimenta una traslación de una unidad hacia arriba y 3 unidades hacia la derecha para producir $A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}$ . Trace un diagrama para representar esta transformación compuesta e indique los vértices para cada transformación.

Solución:

Ejemplo B

Para la transformación compuesta en el ejemplo A, suponga que la preimagen $AB$ experimenta una traslación de una unidad hacia arriba y 3 unidades hacia la derecha; y luego experimenta una reflexión alrededor del eje $x$ . ¿Importa el orden?

Solución:

En este ejemplo $A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}$ no es igual que $A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}$ del ejemplo anterior (ejemplo A). Por lo tanto, el orden sí importa.

Ejemplo C

El triángulo $BCD$ se rota $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen. La figura resultante se traslada 3 unidades hacia la derecha y 7 unidades hacia abajo. ¿Importa el orden?

Orden: Rotación y luego traslación

Orden: Traslación y luego rotación

Solución: El triángulo azul representa la imagen final después de la transformación compuesta. En este ejemplo, el orden sí importa ya que los triángulos azules no terminan en las mismas ubicaciones.

Revisión del problema de concepto

El cuadrilátero $WXYZ$ tiene coordenadas $W(-5, -5), X(-2, 0), Y(2, 3)$ y $Z(-1, 3)$ . Dibuje el cuadrilátero en el plano cartesiano.

Vocabulario

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Dilatación: Una dilatación es una transformación que agranda o reduce el tamaño de una figura.

Traslación: Una traslación es un ejemplo de transformación que mueve cada punto de una forma la misma distancia y en la misma dirección. A las traslaciones también se las conoce como desplazamientos .

Rotación: Una rotación es una transformación que rota (gira) una imagen una cantidad determinada alrededor de un punto determinado.

Reflexión: Una reflexión es un ejemplo de transformación que voltea cada punto de una forma sobre la misma línea.

Transformación compuesta: Una transformación compuesta es cuando se combinan dos o más transformaciones para formar una nueva imagen a partir de la preimagen.

Práctica guiada

1. La línea $\overline{ST}$ trazada de (-3, 4) a (-3, 8) experimentó una rotación alrededor del origen $90^\circ$ en sentido horario y luego una reflexión alrededor del eje $x$ . Trace un diagrama con los vértices rotulados para representar esta transformación compuesta.

2. La línea $\overline{ST}$ trazada de (-3, 4) a (-3, 8) experimentó una reflexión alrededor del eje $x$ y luego una rotación alrededor del origen $90^\circ$ en sentido horario. Trace un diagrama con los vértices rotulados para representar esta transformación compuesta. ¿El gráfico es el mismo que el diagrama en el N.° 1?

3. El triángulo con vértices $J(-5, -2), K (-1, 4)$ y $L (1, -3)$ experimentó una transformación de 4 hacia arriba y 4 hacia la derecha; y luego una reflexión alrededor del eje $x$ . Trace y rotule la transformación compuesta. ¿Importa el orden?

Respuestas:

Si compara el gráfico anterior con lo que se encuentre en la pregunta 1, verá que la imagen de la transformación final $S^{\prime \prime}T^{\prime \prime}$ tiene coordenadas diferentes que la imagen $S^{\prime \prime}T^{\prime \prime}$ de la pregunta 2. Por lo tanto, el orden sí importa.

Orden: Traslación y luego reflexión

Orden: Reflexión y luego transformación

En este problema, el orden sí importa. La imagen final después de la transformación compuesta cambió cuando el orden también cambió.

Práctica

Refleje la figura anterior alrededor del eje X y luego rótela $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen.
Traslade la figura anterior 2 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba; y luego refléjela alrededor de la línea $y=x$

Refleje la figura anterior alrededor del eje Y y luego refléjela alrededor del eje X.
¿Qué transformación única podría haber producido el mismo resultado que en el N.° 3?

Refleje la figura anterior alrededor de la línea $x=2$ y luego alrededor de la línea $x=8$ .
¿Qué transformación única podría haber producido el mismo resultado que en el N.° 5?

Refleje la figura anterior alrededor de la línea Y=X y luego refléjela alrededor del eje X.
¿Qué transformación única podría haber producido el mismo resultado que en el N.° 7?

Traslade la figura anterior 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo; y luego refléjela alrededor del eje Y.
Rote la figura anterior $270^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen y luego trasládela 1 unidad hacia la derecha y 1 unidad hacia abajo.

Refleje la figura anterior alrededor de la línea $y=-x$ y luego trasládela 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.
Traslade la figura anterior 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo; y luego refléjela alrededor de la línea $y=-x$ .

Traslade la figura anterior 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo; y luego rótela alrededor del origen $90^\circ$ en sentido horario.
Rote la figura anterior alrededor del origen $90^\circ$ en sentido horario y luego trasládela 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo.
¿Cómo se puede comparar el resultado del N.° 13 con el del N.° 14?

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