Notación de las transformaciones compuestas

Aquí aprenderá la notación para describir una transformación compuesta.

La siguiente figura muestra una transformación compuesta de un trapezoide. Escriba la regla de correspondencia para la transformación compuesta.

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Primero mire este video para aprender acerca de la rotación para transformaciones compuestas.

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CK-12 Foundation Chapter10NotationforCompositeTransformationsA (Capítulo 10 Notación para transformaciones compuestas A) *Este video solo está disponible en inglés

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CK-12 Foundation Chapter10NotationforCompositeTransformationsB (Capítulo 10 Notación para transformaciones compuestas B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En geometría, una transformación es una operación que mueve, da la vuelta o cambia una forma para crear una forma nueva. Una transformación compuesta es cuando se llevan a cabo dos o más transformaciones en una figura (llamada preimagen) para producir una figura nueva (llamada imagen). El orden de las transformaciones llevadas a cabo en una transformación compuesta sí importa.

Para describir una transformación compuesta mediante notación, establezca cada una de las transformaciones que conforman la transformación compuesta y relaciónelas con el símbolo $\circ$ . Las transformaciones se llevan a cabo en orden de derecha a izquierda. Recuerde la siguiente notación para las traslaciones, reflexiones y rotaciones:

Traslación: $T_{a,b}:(x, y) \rightarrow (x + a, y + b)$ es una traslación de $a$ unidades hacia la derecha y $b$ unidades hacia arriba.
Reflexión: $r_{y-axis}(x,y) \rightarrow (-x,y)$ .
Rotación: $R_{90^\circ}(x,y)=(-y,x)$

Ejemplo A

Trace la línea $XY$ dados $X(2, -2)$ e $Y(3, -4)$ . También grafique la imagen compuesta que satisface la regla $r_{y-axis} \ \circ \ R_{90^\circ}$ .

Solución: La primer traslación es una rotación de $90^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor del origen para producir $X^{\prime}Y^{\prime}$ . La segunda traslación es una reflexión alrededor del eje $y$ para producir $X^{\prime \prime}Y^{\prime \prime}$ .

Ejemplo B

La imagen A con vértices $A(3, 5), B(4, 2)$ y $C(1, 1)$ experimenta una transformación compuesta con la regla de correspondencia $r_{x-axis} \ \circ \ r_{y-axis}$ . Trace la preimagen y la imagen compuesta y muestre los vértices de la imagen compuesta.

Solución:

Ejemplo C

La imagen D con vértices $D(-3, 7), E(-1, 3), F(-7, 5)$ y $G(-5, 1)$ experimenta una transformación compuesta con la regla de correspondencia $T_{3,4} \ \circ \ r_{x-axis}$ . Trace la preimagen y la imagen compuesta y muestre los vértices de la imagen compuesta.

Solución:

Revisión del problema de concepto

La transformación de la imagen A en la imagen B es una reflexión alrededor del eje $y$ . La notación para esto es $r_{y-axis}$ . La transformación de la imagen B en la imagen C es una rotación alrededor del origen de $90^\circ$ en sentido horario. La notación para esta transformación es $R_{270^\circ}$ . Por lo tanto, la notación para describir la transformación de la imagen A en la imagen C es $R_{270^\circ}\ \circ \ r_{y-axis}$ .

Vocabulario

Imagen: En una transformación, la figura final se llama imagen .

Preimagen: En una transformación, la figura original se llama preimagen.

Transformación: Una transformación es una operación que se realiza sobre una forma que la mueve o cambia de alguna manera. Existen cuatro tipos de transformaciones: traslaciones, reflexiones, dilataciones y rotaciones.

Dilatación: Una dilatación es una transformación que agranda o reduce el tamaño de una figura.

Traslación: Una traslación es un ejemplo de transformación que mueve cada punto de una forma la misma distancia y en la misma dirección. A las traslaciones también se las conoce como desplazamientos .

Rotación: Una rotación es una transformación que rota (gira) una imagen una cantidad determinada alrededor de un punto determinado.

Reflexión: Una reflexión es un ejemplo de transformación que voltea cada punto de una forma sobre la misma línea.

Transformación compuesta: Una transformación compuesta es cuando se combinan dos o más transformaciones para formar una nueva imagen a partir de la preimagen.

Práctica guiada

1. Trace la línea $XY$ dados $X(2, -2)$ e $Y(3, -4)$ . También grafique la imagen compuesta que satisface la regla $R_{90^\circ} \ \circ \ r_{y-axis}$ .

2. Describa las transformaciones compuestas en el diagrama a continuación y escriba la notación que representa la transformación de la figura $ABCD$ en $A^{\prime \prime}B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}D^{\prime \prime}$ .

3. Describa las transformaciones compuestas en el diagrama a continuación y escriba la notación que representa la transformación de la figura $ABC$ en $A^{\prime \prime}B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}$ .

Respuestas:

1. La primer transformación es una reflexión alrededor del eje $y$ para producir $X^{\prime}Y^{\prime}$ . La segunda transformación es una rotación $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen para producir $X^{\prime \prime}Y^{\prime \prime}$ .

2. En el diagrama se muestran dos transformaciones. La primera transformación es una reflexión alrededor de la línea $X = 2$ para producir $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ . La segunda transformación es una rotación de $90^{\circ}$ en sentido horario (o $270^{\circ}$ en sentido antihorario) alrededor del punto (2, 0) para producir la figura $A^{\prime \prime}B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}D^{\prime \prime}$ . La notación para esta transformación compuesta es:

$R_{270^{\circ}} \ \circ \ r_{x=2}$

3. En el diagrama se muestran dos transformaciones. La primera transformación es una traslación de 1 unidad hacia la izquierda y 5 unidades hacia abajo para producir $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ . La segunda es una reflexión alrededor del eje $y$ para producir la figura $A^{\prime \prime}B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}$ . La notación para esta transformación compuesta es:

$r_{y-axis} \ \circ \ T_{-1,-5}$

Práctica

Complete la tabla siguiente:

Punto de inicio	$T_{3,-4} \ \circ \ R_{90^{\circ}}$	$r_{x-axis} \ \circ \ r_{y-axis}$	$T_{1,6} \ \circ \ r_{x-axis}$	$r_{y-axis} \ \circ \ R_{180^{\circ}}$
1. (1, 4)
2. (4, 2)
3. (2, 0)
4. (-1, 2)
5. (-2, -3)
6. (4, -1)
7. (3, -2)
8. (5, 4)
9. (-3, 7)
10. (0, 0)

Escriba la notación que representa la transformación compuesta de la preimagen A en las imágenes compuestas en los diagramas a continuación.

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