La fórmula del punto medio

Aquí aprenderá cómo encontrar el punto medio de un segmento de línea.

Encuentre los puntos medios para el siguiente diagrama y luego trace las líneas de reflexión.

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Primero mire este video para aprender acerca de la fórmula del punto medio.

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CK-12 Foundation Chapter10TheMidpointFormulaA (Capítulo 10 Fórmula del punto medio A) *Este video solo está disponible en inglés

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CK-12 Foundation Chapter10TheMidpointFormulaB (Capítulo 10 Fórmula del punto medio B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

El punto medio de un segmento de línea es el punto que está exactamente en el centro de los dos extremos. Para calcular las coordenadas del punto medio, encuentre el promedio de los dos extremos:

$M= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right)$

En algunos casos, los puntos medios pueden ayudarle a encontrar las líneas de reflexión (líneas de simetría) en formas. Mire el triángulo equilátero en el siguiente diagrama.

En un triángulo equilátero hay tres líneas de simetría. Las líneas de simetría conectan cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

$C$ es el punto medio de $AB, G$ es el punto medio de $BF$ y $H$ es el punto medio de $AF$ . Las líneas $AG, FC,$ y $BH$ son líneas de simetría o líneas de reflexión.

Tenga en mente que no todos los puntos medios crearán líneas de simetría.

Ejemplo A

En el diagrama a continuación, $C$ es el punto medio entre $A(-9, -1)$ y $B(-3, 7)$ . Encuentre las coordenadas de $C$ .

Solución:

$M_{AB}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\M_{AB}&= \left( \frac{-9+-3}{2}, \frac{-1+7}{2} \right) \\\M_{AB}&= \left( \frac{-12}{2}, \frac{6}{2} \right) \\\M_{AB}&=(-6,3)$

Ejemplo B

Encuentre las coordenadas del punto $T$ en la línea $ST$ sabiendo que $S$ tiene coordenadas (-3, 8) y el punto medio es (12, 1).

Solución: Mire la fórmula del punto medio: $M= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right)$

En este problema, si el punto $T$ tiene las coordenadas $x_1$ e $y_1$ , debe encontrar $x_1$ e $y_1$ utilizando la fórmula del punto medio.

$M_{ST}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\(12,1)&= \left( \frac{-3+x_1}{2}, \frac{8+y_1}{2} \right)$

Luego necesita separar la fórmula de las coordenadas de $x$ y la fórmula de las coordenadas de $y$ para hallar las incógnitas.

$12= \frac{-3+x_1}{2} \quad 1= \frac{8+y_1}{2}$

Ahora multiplique cada una de las ecuaciones por 2 para deshacerse de la fracción.

$24=-3+x_1 \quad 2=8+y_1$

Ahora puede calcular $x_1$ e $y_1$ .

$27=x_1 \quad -6=y_1$

Por lo tanto, el punto $T$ en la línea $ST$ tiene las coordenadas (27, -6).

Ejemplo C

Encuentre los puntos medios para el siguiente diagrama para trazar las líneas de reflexión (o línea de simetría).

Solución:

$M_{IL}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) && M_{IJ}= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\M_{IL}&= \left( \frac{2+-1}{2}, \frac{-2+1}{2} \right) && M_{IJ}= \left( \frac{2+5}{2}, \frac{-2+1}{2}\right) \\\M_{IL}&= \left( \frac{1}{2}, \frac{-1}{2} \right) && M_{IJ}= \left( \frac{7}{2}, \frac{-1}{2}\right) \\\& && M_{IJ}=(3.5,-0.5)$

$M_{JK}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\M_{JK}&= \left( \frac{5+2}{2}, \frac{4+1}{2} \right) \\\M_{JK}&= \left( \frac{7}{2}, \frac{5}{2} \right) \\\M_{JK}&=(3.5,2.5)$

$M_{KL}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\M_{KL}&= \left( \frac{2+-1}{2}, \frac{1+4}{2} \right) \\\M_{KL}&= \left( \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right) \\\M_{KL}&=(0.5,2.5)$

Como se ve en el gráfico anterior, un cuadrado tiene dos líneas de simetría trazadas desde los puntos medios de los lados opuestos. De hecho, un cuadrado tiene dos líneas de simetría más, que son las diagonales del cuadrado.

Revisión del problema de concepto

Encuentre los puntos medios del siguiente diagrama para poder trazar las líneas de reflexión.

$M_{AB}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) && M_{AD}= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\M_{AB}&= \left( \frac{10+10}{2}, \frac{1+5}{2} \right) && M_{AD}= \left( \frac{10+1}{2}, \frac{5+5}{2} \right) \\\M_{AB}&= \left( \frac{20}{2}, \frac{6}{2} \right) && M_{AD}= \left( \frac{11}{2}, \frac{10}{2} \right) \\\M_{AB}&=(10,3) && M_{AD}=(5.5,5)$

$M_{BC}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) && M_{CD}= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\M_{BC}&= \left( \frac{10+1}{2}, \frac{1+1}{2} \right) && M_{CD}= \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1+5}{2} \right) \\\M_{BC}&= \left( \frac{11}{2}, \frac{2}{2} \right) && M_{CD}= \left( \frac{2}{2}, \frac{6}{2} \right) \\\M_{BC}&=(5.5,1) && M_{CD}=(1,3)$

Como se ve en el gráfico anterior, un rectángulo tiene dos líneas de simetría.

Vocabulario

Línea de simetría: La línea de simetría (o línea de reflexión) es la línea que se traza de modo que cada una de las mitades que resultan de dibujar una línea de simetría sea congruente (el mismo tamaño y la misma forma).

Punto medio: El punto medio de un segmento de línea es el punto exacto en el medio de dos extremos. El punto medio es el promedio de dos extremos en un segmento: $M= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right)$

Práctica guiada

1. En el diagrama a continuación, $Z$ es el punto medio entre $X (-5, 6)$ e $Y (3, -4)$ . Encuentre las coordenadas de $Z$ .

2. Encuentre las coordenadas del punto $K$ en la línea $JK$ sabiendo que $J$ tiene coordenadas (-2, 5) y que el punto medio es (10, 1).

3. En un círculo se traza un diámetro, tal como se muestra a continuación. ¿Cuáles son las coordenadas del centro del círculo, $O$ ?

Respuestas:

$M_{XY}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\M_{XY}&= \left( \frac{-5+3}{2}, \frac{-4+6}{2} \right) \\\M_{XY}&= \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) \\\M_{XY}&=(-1,1)$

2. Si el punto $K$ tiene las coordenadas $x_1$ e $y_1$ , encuentre $x_1$ e $y_1$ utilizando la fórmula del punto medio.

$M_{JK}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\(10,1)&= \left( \frac{-2+x_1}{2}, \frac{5+y_1}{2} \right)$

Luego necesita separar la fórmula de las coordenadas de $x$ y la fórmula de las coordenadas de $y$ para hallar las incógnitas.

$10= \frac{-2+x_1}{2} \quad 1= \frac{5+y_1}{2}$

Ahora multiplique cada una de las ecuaciones por 2 para deshacerse de la fracción.

$20=-2+x_1 \quad 2=5+y_1$

Ahora puede calcular $x_1$ e $y_1$ .

$22=x_1 \quad -3=y_1$

Por lo tanto, el punto $K$ en la línea $JK$ tiene las coordenadas (22, -3).

3. $M_{AB}&= \left( \frac{x_2+x_1}{2}, \frac{y_2+y_1}{2} \right) \\\M_{AB}&= \left( \frac{1+-4}{2}, \frac{2+7}{2} \right) \\\M_{AB}&= \left( \frac{-3}{2}, \frac{9}{2} \right) \\\M_{AB}&=(-1.5,4.5)$

Práctica

Dados los extremos, encuentre el punto medio para cada una de las siguientes líneas:

Línea $AB$ dados $A(5, 7)$ y $B(3, 9)$ .
Línea $BC$ dados $B(3, 8)$ y $C(5, 2)$ .
Línea $CD$ dados $C(4, 6)$ y $D(3, 5)$ .
Línea $DE$ dados $D(9, 11)$ y $E(2, 2)$ .
Línea $EF$ dados $E(1, 1)$ y $F(8, 7)$ .
Línea $FG$ dados $F(1, 8)$ y $G(1, 4)$ .

Para las siguientes líneas, se conoce un extremo y el punto medio. Encuentre el otro extremo.

Línea $AB$ dados $A(3, -5)$ y $M_{AB}(7, 7)$ .
Línea $BC$ dados $B(2, 4)$ y $M_{BC}(4, 9)$ .
Línea $CD$ dados $C(-2, 6)$ y $M_{CD}(1, 1)$ .
Línea $DE$ dados $D(2, 9)$ y $M_{DE}(8, 2)$ .
Línea $EF$ dados $E(-6, -5)$ y $M_{EF}(-2, 6)$ .

Encuentre los puntos medios para cada uno de los siguientes diagramas.

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