La fórmula de distancia

Aquí aprenderá acerca de la fórmula de distancia y cómo utilizarla para determinar si dos segmentos de línea son congruentes o no.

El triángulo $ABC$ tiene los vértices $A(-5, 7), B(-8, 6)$ y $C(-3, 3)$ . El triángulo se refleja alrededor del eje $y$ para formar el triángulo $A^\prime B^\prime C^\prime$ . Si asume que $\angle A= \angle A^\prime, \angle B= \angle B^\prime$ , y $\angle C= \angle C^\prime$ , demuestre que los dos triángulos son congruentes.

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Primero mire este video para aprender acerca de la fórmula de distancia.

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CK-12 Foundation Chapter10TheDistanceFormulaA I (Capítulo 10 Fórmula de distancia A I) *Este video solo está disponible en inglés

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CK-12 Foundation Chapter10TheDistanceFormulaB (Capítulo 10 Fórmula de distancia B) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

Dos formas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. En formas congruentes, todos los lados correspondientes serán del mismo largo y todos los ángulos correspondientes serán de la misma medida. Las traslaciones, reflexiones y rotaciones crean formas congruentes.

Si quiere determinar si dos segmentos son del mismo largo, puede intentar usar una regla. Desafortunadamente, es difícil ser muy preciso con una regla. También puede utilizar software de geometría, pero no siempre está disponible. Si los segmentos están en el plano de coordenadas y conoce sus extremos, puede utilizar la fórmula de distancia:

$d= \sqrt{ \left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2}$

La fórmula de distancia ayuda a justificar la congruencia al demostrar que los lados de la preimagen tienen la misma longitud que los lados de la imagen transformada. La fórmula de distancia se deriva del teorema de Pitágoras, del que aprenderá más en geometría.

Ejemplo A

El segmento de línea $AB$ se traslada 5 unidades hacia la derecha y 6 unidades hacia abajo para producir la línea $A^\prime B^\prime$ . El siguiente diagrama muestra los extremos de las líneas $AB$ y $A^\prime B^\prime$ . Demuestre que los dos segmentos de línea son congruentes.

Solución:

$d_{AB}&= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(-4-3\right)^2+ \left(2-2\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(1-8\right)^2+ \left(-4- \left(-4\right)\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(-7\right)^2+ \left(0\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{ \left(-7\right)^2+ \left(0\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{49+0} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{49+0} \\\d_{AB}&= \sqrt{49} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{49} \\\d_{AB}&=7 \ cm && d_{A^\prime B^\prime}=7 \ cm$

Ejemplo B

El segmento de línea $AB$ se ha rotado alrededor del origen $90^\circ$ en sentido antihorario para producir $A^\prime B^\prime$ . El siguiente diagrama muestra las líneas $AB$ y $A^\prime B^\prime$ . Demuestre que los dos segmentos de línea son congruentes.

Solución:

$d_{AB}&= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(-4-3\right)^2+ \left(2-2\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(-2- \left(-2\right)\right)^2+ \left(-4-3\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(-7\right)^2+ \left(0\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{ \left(0\right)^2+ \left(-7\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{49+0} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{0+49} \\\d_{AB}&= \sqrt{49} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{49} \\\d_{AB}&=7 \ cm && d_{A^\prime B^\prime}=7 \ cm$

Ejemplo C

El cuadrado $ABCD$ se ha reflejado alrededor de la línea $y = x$ para producir $A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$ tal como se muestra en el siguiente diagrama. Demuestre que los dos cuadrados son congruentes.

Solución: Debido a que las figuras son cuadrados, puede concluir que todos los ángulos son los mismos e iguales a $90^\circ$ . También podrá concluir que para cada cuadrado, todos los lados tienen la misma longitud. Por lo tanto, todo lo que necesita verificar es que $m \overline{AB}=m \overline{A^\prime B^\prime}$ .

$d_{AB}&= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(-6.1- \left(-3\right)\right)^2+ \left(9.3-4.9\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(9.3- 4.9\right)^2+ \left(-6.1- \left(-3\right)\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(-3.1\right)^2+ \left(4.4\right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(4.4\right)^2+ \left(-3.1\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{9.61+19.36} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{19.36+9.61} \\\d_{AB}&= \sqrt{28.97} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{28.97} \\\d_{AB}&=5.38 \ cm && d_{A^\prime B^\prime}=5.38 \ cm$

Dado que $m \overline{AB}=m \overline{A^\prime B^\prime}$ y que ambas formas son cuadrados, los 8 lados deben ser del mismo largo. Por lo tanto, los dos cuadrados son congruentes.

Revisión del problema de concepto

Para demostrar la congruencia, pruebe que $m \overline{AB}=m \overline{A^\prime B^\prime},m \overline{AC}=m \overline{A^\prime C^\prime},$ y $m \overline{BC}=m \overline{B^\prime C^\prime}$ .

$d_{AB}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(-5- \left(-8 \right) \right)^2+ \left(7-6 \right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{ \left(5-8 \right)^2+ \left(7-6 \right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(3 \right)^2+ \left(1 \right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{ \left(-3 \right)^2+ \left(1 \right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{9+1} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{9+1} \\\d_{AB}&= \sqrt{10} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{10} \\\d_{AB}&=3.16 \ cm && d_{A^\prime B^\prime}=3.16 \ cm$

$d_{AC}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{ \left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} \\\d_{AC}&= \sqrt{\left(-5- \left(-3 \right) \right)^2+ \left(7-3 \right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(5-3 \right)^2+ \left(7-3 \right)^2} \\\d_{AC}&= \sqrt{\left(-2 \right)^2+ \left(4 \right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(2 \right)^2+ \left(4 \right)^2} \\\d_{AC}&= \sqrt{4+16} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{4+16} \\\d_{AC}&= \sqrt{20} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{20} \\\d_{AC}&=4.47 \ cm && d_{A^\prime C^\prime}=4.72 \ cm$

$d_{BC}&= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{ \left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} \\\d_{BC}&= \sqrt{\left(-8- \left(-3\right)\right)^2+ \left(6-3\right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(8-3\right)^2+ \left(6-3\right)^2} \\\d_{BC}&= \sqrt{\left(-5\right)^2+ \left(3\right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(5\right)^2+ \left(3\right)^2} \\\d_{BC}&= \sqrt{25+9} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{25+9} \\\d_{BC}&= \sqrt{34} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{34} \\\d_{BC}&=5.83 \ cm && d_{A^\prime C^\prime}=5.83 \ cm$

Dado que $\angle A= \angle A^\prime, \angle B= \angle B^\prime,$ y $\angle C= \angle C^\prime$ , y que la fórmula de distancia demostró que $m \overline{AB}=m \overline{A^\prime B^\prime},m \overline{AC}=m \overline{A^\prime C^\prime},$ y $m \overline{BC}=m \overline{B^\prime C^\prime}$ . Por lo tanto, los dos triángulos son congruentes.

Vocabulario

Congruente: Dos formas o segmentos son congruentes si tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño.

Fórmula de distancia: La fórmula de distancia , que determina la distancia entre dos puntos, es $d= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2}$ .

Práctica guiada

1. El segmento de línea $\overline{ST}$ trazado de $S(-3, 4)$ a $T(-3, 8)$ experimentó una reflexión alrededor del eje $y$ para producir la línea $S^\prime T^\prime$ trazada desde $S^\prime (3, 4)$ a $T^\prime (4, 8)$ . Trace la preimagen y la imagen y demuestre que las dos líneas son congruentes.

2. El triángulo siguiente experimentó una rotación de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen. Dado que todos los ángulos son iguales, trace la imagen transformada y demuestre que las dos figuras son congruentes.

3. El siguiente polígono experimentó una traslación de 7 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba. Dado que todos los ángulos son iguales, trace la imagen transformada y demuestre que las dos figuras son congruentes.

Respuestas:

$d_{ST}&= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} && d_{S^\prime T^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+ \left(y_2-y_1\right)^2} \\\d_{ST}&= \sqrt{\left(-3- \left(-4\right)\right)^2+ \left(4-8\right)^2} && d_{S^\prime T^\prime}= \sqrt{\left(3-4\right)^2+ \left(4-8\right)^2} \\\d_{ST}&= \sqrt{\left(1\right)^2+ \left(-4\right)^2} && d_{S^\prime T^\prime}= \sqrt{\left(-1\right)^2+ \left(-4\right)^2} \\\d_{ST}&= \sqrt{1+16} && d_{S^\prime T^\prime}= \sqrt{1+16} \\\d_{ST}&= \sqrt{17} && d_{S^\prime T^\prime}= \sqrt{17} \\\d_{ST}&=4.12 \ cm && d_{S^\prime T^\prime}=4.12 \ cm$

$d_{AB}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(2-7 \right)^2+ \left(2-3 \right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(3-2 \right)^2+ \left(-7- \left(-2 \right)\right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{\left(-5\right)^2+ \left(-1 \right)^2} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{\left(1 \right)^2+ \left(-5 \right)^2} \\\d_{AB}&= \sqrt{25+1} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{1+25} \\\d_{AB}&= \sqrt{26} && d_{A^\prime B^\prime}= \sqrt{26} \\\d_{AB}&=5.10 \ cm && d_{A^\prime B^\prime}=5.10 \ cm$

$d_{AC}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{AC}&= \sqrt{\left(2-4 \right)^2+ \left(2-6 \right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(2-6 \right)^2+ \left(-2- \left(-4 \right)\right)^2} \\\d_{AC}&= \sqrt{\left(-2 \right)^2+ \left(-4 \right)^2} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(-4 \right)^2+ \left(2 \right)^2} \\\d_{AC}&= \sqrt{4+16} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{16+4} \\\d_{AC}&= \sqrt{20} && d_{A^\prime C^\prime}= \sqrt{20} \\\d_{AC}&=4.47 \ cm && d_{A^\prime C^\prime}=4.72 \ cm$

$d_{BC}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{B^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{BC}&= \sqrt{\left(7-4 \right)^2+ \left(3-6 \right)^2} && d_{B^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(3-6 \right)^2+ \left(-7- \left(-4 \right)\right)^2} \\\d_{BC}&= \sqrt{\left(3 \right)^2+ \left(-3 \right)^2} && d_{B^\prime C^\prime}= \sqrt{\left(-3 \right)^2+ \left(-3 \right)^2} \\\d_{BC}&= \sqrt{9+9} && d_{B^\prime C^\prime}= \sqrt{9+9} \\\d_{BC}&= \sqrt{18} && d_{B^\prime C^\prime}= \sqrt{18} \\\d_{BC}&=4.24 \ cm && d_{B^\prime C^\prime}=4.24 \ cm$

$d_{DE}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{D^\prime E^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{DE}&= \sqrt{\left(3.5-6 \right)^2+ \left(1-3 \right)^2} && d_{D^\prime E^\prime}= \sqrt{\left(-3.5- \left(-1 \right) \right)^2+ \left(2-4 \right)^2} \\\d_{DE}&= \sqrt{\left(-2.5 \right)^2+ \left(-2 \right)^2} && d_{D^\prime E^\prime}= \sqrt{\left(-2.5 \right)^2+ \left(-2 \right)^2} \\\d_{DE}&= \sqrt{6.25+4} && d_{D^\prime E^\prime}= \sqrt{6.25+4} \\\d_{DE}&= \sqrt{10.25} && d_{D^\prime E^\prime}= \sqrt{10.25} \\\d_{DE}&=3.20 \ cm && d_{D^\prime E^\prime}=3.20 \ cm$

$d_{EF}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{E^\prime F^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{EF}&= \sqrt{\left(6-5 \right)^2+ \left(3-6 \right)^2} && d_{E^\prime F^\prime}= \sqrt{\left(-1- \left(-2 \right) \right)^2+ \left(4-7 \right)^2} \\\d_{EF}&= \sqrt{\left(1 \right)^2+ \left(-3 \right)^2} && d_{E^\prime F^\prime}= \sqrt{\left(1 \right)^2+ \left(-3 \right)^2} \\\d_{EF}&= \sqrt{1+9} && d_{E^\prime F^\prime}= \sqrt{1+9} \\\d_{EF}&= \sqrt{10} && d_{E^\prime F^\prime}= \sqrt{10} \\\d_{EF}&=3.16 \ cm && d_{E^\prime F^\prime}=3.16 \ cm$

$d_{FG}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{F^\prime G^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{FG}&= \sqrt{\left(5-2 \right)^2+ \left(6-6 \right)^2} && d_{F^\prime G^\prime}= \sqrt{\left(-2- \left(-5 \right) \right)^2+ \left(7-7 \right)^2} \\\d_{FG}&= \sqrt{\left(3 \right)^2+ \left(0 \right)^2} && d_{F^\prime G^\prime}= \sqrt{\left(3 \right)^2+ \left(0 \right)^2} \\\d_{FG}&= \sqrt{9+0} && d_{F^\prime G^\prime}= \sqrt{9+0} \\\d_{FG}&= \sqrt{9} && d_{F^\prime G^\prime}= \sqrt{9} \\\d_{FG}&=3.00 \ cm && d_{F^\prime G^\prime}=3.00 \ cm$

$d_{GH}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{G^\prime H^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{GH}&= \sqrt{\left(2-1 \right)^2+ \left(6-3 \right)^2} && d_{G^\prime H^\prime}= \sqrt{\left(-5- \left(-6 \right) \right)^2+ \left(7-4 \right)^2} \\\d_{GH}&= \sqrt{\left(1 \right)^2+ \left(3 \right)^2} && d_{G^\prime H^\prime}= \sqrt{\left(1 \right)^2+ \left(3 \right)^2} \\\d_{GH}&= \sqrt{1+9} && d_{G^\prime H^\prime}= \sqrt{1+9} \\\d_{GH}&= \sqrt{10} && d_{G^\prime H^\prime}= \sqrt{10} \\\d_{GH}&=3.16 \ cm && d_{G^\prime H^\prime}=3.16 \ cm$

$d_{HD}&= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} && d_{H^\prime D^\prime}= \sqrt{\left(x_2-x_1 \right)^2+ \left(y_2-y_1 \right)^2} \\\d_{HD}&= \sqrt{\left(1-3.5 \right)^2+ \left(3-1 \right)^2} && d_{H^\prime D^\prime}= \sqrt{\left(-6- \left(-3.5 \right) \right)^2+ \left(4-2 \right)^2} \\\d_{HD}&= \sqrt{\left(-2.5 \right)^2+ \left(2 \right)^2} && d_{H^\prime D^\prime}= \sqrt{\left(-2.5 \right)^2+ \left(2 \right)^2} \\\d_{HD}&= \sqrt{6.25+4} && d_{H^\prime D^\prime}= \sqrt{6.25+4} \\\d_{HD}&= \sqrt{10.25} && d_{H^\prime D^\prime}= \sqrt{10.25} \\\d_{HD}&=3.20 \ cm && d_{H^\prime D^\prime}=3.20 \ cm$

Práctica

Dados sus extremos, encuentre la longitud de cada segmento de línea a continuación. Deje todas las respuestas en la forma radical más simple.

Segmento de línea $AB$ dados $A(5, 7)$ y $B(3, 9)$ .
Segmento de línea $BC$ dados $B(3, 8)$ y $C(5, 2)$ .
Segmento de línea $CD$ dados $C(4, 6)$ y $D(3, 5)$ .
Segmento de línea $DE$ dados $D(9, 11)$ y $E(2, 2)$ .
Segmento de línea $EF$ dados $E(1, 1)$ y $F(8, 7)$ .
Segmento de línea $FG$ dados $F(3, 6)$ y $G(2, 4)$ .
Segmento de línea $GH$ dados $G(-2, 4)$ y $H(6, -1)$ .
Segmento de línea $HI$ dados $H(1, -5)$ y $I(3, 3)$ .
Segmento de línea $IJ$ dados $I(3.4, 7)$ y $J(1, 6)$ .
Segmento de línea $JK$ dados $J(6, -3)$ y $K(-2, 4)$ .
Segmento de línea $KL$ dados $K(-3, -3)$ y $L(2, -1)$ .

Asuma que los ángulos son congruentes en cada uno de los diagramas siguientes. Encuentre las longitudes de los segmentos de línea para demostrar la congruencia.