Inecuaciones que Describen Patrones

En esta Sección aprenderás a representar situaciones reales como inecuaciones. Luego, resolverás la inecuación y reemplazarás tu resultado en la inecuación para verificar que tu respuesta es la correcta.

¿Qué pasaría si estuvieses manejando un auto a 45 millas por horas y supieras que tu destino queda a menos de 150 millas? ¿Qué inecuación podrías escribir para resolver el número de horas que debes manejar? Luego de resolver la inecuación, ¿cómo podrías verificar que tu respuesta sea la correcta? Al terminar esta Sección, podrás encontrar y verificar las soluciones a inecuaciones que representen situaciones como esta.

Orientación

A Veces Las Cosas No Son Iguales

En algunos casos hay múltiples respuestas a un problema o la situación requiere una respuesta que no sea exactamente igual a otro valor. Cuando una oración matemática requiere de algo distinto de un signo igual, se forma una inecuación .

Definición: Una inecuación algebraica es una oración matemática que conecta una expresión a un valor, una variable u otra expresión con un signo de desigualdad.

A continuación se muestran los signos de desigualdad más comunes.

$>$ “mayor que”

$\ge$ “mayor o igual que”

$\le$ “menos o igual que”

$<$ “menos que”

$\neq$ “distinto de”

Estos son algunos ejemplos de inecuaciones.

$3x < 5 && x^2 + 2x - 1 > 0 && \frac{3x}{4} \ge \frac{x}{2} - 3 && 4 - x \le 2x$

Ejemplo A

Transforma el siguiente problema en una inecuación: Las paltas cuestan $1,59 por libra. ¿Cuántas libras de palta podemos comprar por menos de $7?

Solución: Escoge una variable que represente el número de libras de palta comprada, como $a$ .

$1.59(a)<7$

En los ejercicios deberás resolver esta inecuación.

Verificar una Solución a una Inecuación

A diferencia de las ecuaciones, las inecuaciones tienen más de una solución. Sin embargo, puedes verificar si cierto valor, como $x=6$ , es una solución a la inecuación de la misma manera que una ecuación; debes reemplazar el valor y comprobar que cumpla con la oración algebraica.

Los siguientes ejemplos muestran cómo funciona una inecuación.

Ejemplo B

Verifica si $m = 11$ es una solución para $4m + 30 \le 70$ .

Solución:

Reemplaza $m = 11$ , para verificar que la inecuación sea cierta.

$&4(11) + 30\le 70\\\&44 + 30\le 70\\\&74 \le 70$

Debido a que $m = 11$ nos da un resultado erróneo, no es una solución a la inecuación.

Ejemplo C

Verifica si $m = 10$ es una solución para $4m + 30 \le 70$ .

Solución:

Reemplaza $m = 10$ :

$&4(10) + 30\le 70\\\&40 + 30\le 70\\\&70 \le 70$

Para que $70 \le 70$ sea cierto, necesitamos que $70<70$ o que $70=70$ . Ya que $70=70$ , esta inecuación es cierta y $m = 10$ es una solución.

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Guiada

1. Verifica si $x=3$ es una solución para $2x-5<7.$

2. Verifica si $x=6$ es una solución para $2x-5<7.$

Soluciones:

1. Reemplaza $x=3$ , para verificar que sea una solución a $2x-5<7.$

$2(3)-5< 7\\\6-5<7\\\1<7$

Ya que 1 es menor que 7, esta inecuación es cierta y $x=3$ es una solución de $2x-5<7.$

2. Verifica si $x=6$ es una solución para $2x-5<7.$

$2(6)-5<7\\\12-5<7\\\7<7$

Debido a que 7 no es menor que 7, esta inecuación es falsa. Así $x=6$ no es una solución a $2x-5<7.$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Equations and Inequalities (16:11)

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Define solución .
¿Cuál es la diferencia entre una ecuación algebraica y una inecuación algebraica? Da un ejemplo de cada una.
¿Cuáles son los cinco signos más comunes de desigualdad?

Del 4 al 7, define las variables y transforma las siguientes oraciones en ecuaciones algebraicas.

En un bus caben 65 pasajeros o menos.
La suma de dos enteros consecutivos es menos que 54.
Una cantidad de dinero es invertida con un 5% de interés anual. El interés ganado a fin de año es mayor o igual que $250.
Compras hamburguesas en un local de comida rápida. Una hamburguesa cuesta $0,49. Puedes gastar como máximo $3. Escribe una inecuación para el número de hamburguesas que puedes comprar.

Del 8 al 11, verifica si las soluciones dadas corresponden a las inecuaciones.

$x = 12; \ 2(x + 6) \le 8x$
$z = -9; \ 1.4z + 5.2 > 0.4z$
$y = 40; \ -\frac{5}{2}y + \frac{1}{2} < - 18$
$t = 0.4; \ 80 \ge 10(3t + 2)$

Del 12 al 14, encuentra las soluciones.

Toma la situación de hamburguesas y papas fritas de la Sección anterior, escribe tres combinaciones de hamburguesas y papas que pueda comprar tu familia sin gastar más de $25.
Resuelve la inecuación de la palta del Ejemplo A y verifica la solución.
En tu nuevo trabajo pagan de dos maneras. Puedes recibir $1000 por mes más 6% de comisión de las ventas totales o recibir $1200 por mes más 5% de comisión de las ventas por sobre $2000. ¿Cuántas ventas se deben realizar para que la primera opción sea mejor que la segunda? Supón que las ventas siempre son mayores a $2000.

Ejercicios Mixtos

Transforma en ecuación algebraica. 17 menos que un número es 65.
Simplifica la expresión: $3^4 \div (9 \times 3)+6-2$ .
Reescribe lo siguiente sin los signos de multiplicación: $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ .
El volumen de una caja sin tapa está representado por la fórmula $V = 4x (10-x)^2$ , donde $x$ es el largo en pulgadas y $V$ es el volumen en centímetros cúbicos. ¿Cuál es el volumen de la caja si $x=2$ ?

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