Notación de Función

En esta Sección aprenderás a tomar una ecuación o inecuación y reescribirla como una función. También aprenderás las diferencias entre una variable dependiente y una independiente.

Supón que quieres escribir una función que te permita escribir la edad de un perro en años humanos y de cómo resultado la edad del perro en años de perro. ¿Cómo podrías crear una función así y qué notación usarías? ¿Sería el mismo tipo de notación usado en las ecuaciones de las secciones anteriores? En esta Sección, aprenderás todo lo que necesitas saber para escribir una función de ese tipo.

Orientación

En vez de comprar un boleto por todo el día en el parque de diversiones, Joshep decidió pagar por atracción. Cada atracción tiene un costo de $2. Para describir la cantidad de dinero que Joseph gastará, se pueden usar varios conceptos matemáticos.

Primero, se puede escribir una expresión que describa la relación entre el costo por atracción y la cantidad de veces que se sube a la misma atracción, $r$ . También se puede escribir una ecuación si se da el total que pretende gastar. Se puede escribir una inecuación si Joseph quiere gastar menos de cierta cantidad.

Ejemplo A

Con la situación de Joseph en mente, escribe lo siguiente:

a. Una expresión que represente el total gastado.

b. Una ecuación que represente el total gastado.

c. Una ecuación que muestre que Joseph quiere gastar exactamente $22.

d. Una inecuación que describa que Joseph no gastará más de $26.

Solución: La variable en esta situación en la cantidad de veces que Joseph se subirá a las atracciones. Llamémosla $r$ .

a. $2(r)$

b. $2(r) = m$

c. $2(r) = 22$

d. $2(r) \le 26$

Además de una expresión, ecuación o inecuación, la situación de Joseph se puede expresar como una función o tabla.

Definición: Una función es una relación entre dos variables, de manera que el valor de entrada tenga SOLO un valor de salida.

Escribir Ecuaciones como Funciones

Una función es un conjunto de pares ordenados en el que la primera coordenada, generalmente $x$ , coincide con exactamente una segunda coordenada, $y$ . Las ecuaciones que se ajustan a esta definición se pueden escribir como función. La coordenada $y$ representa a la variable dependiente , es decir, los valores de esta variable dependen de la otra variable.

Tomemos la ecuación de Joseph $m = 2r$ . Al usar notación de funciones, el valor de la ecuación (el dinero gastado $m$ ) se reemplazada con $f(r)$ . $f$ representa el nombre de la función y $(r)$ representa la variable. En este caso el paréntesis no implica una multiplicación; más bien, separan el nombre de la función de la variable independiente.

$& \quad \ input\\\& \quad \ \ \ \downarrow\\\& \quad \underbrace{f(x)}= y \leftarrow output\\\& \ function\\\& \quad \ \ box$

Ejemplo B

Reescribe las siguientes ecuaciones en forma de función.

a. $y=7x-3$

b. $d=65t$

c. $F=1.8C+32$

Solución:

a. Según la definición de una función, $y=f(x)$ , así $f(x)=7x-3$ .

b. En este caso la variable dependiente es $d$ . La notación de función reemplaza la variable dependiente, así $d = f(t) = 65t$ .

c. $F = f(C) = 1.8C + 32$

¿Por qué Usar la Notación de Función?

¿Por qué es necesario usar la notación de función? La necesidad nace de usar múltiples ecuaciones. La notación de funciones permite descifrar con mayor facilidad las ecuaciones. Supón que Joseph, Lacy, Kevin y Alfred fueron juntos al parque de diversiones y decidieron pagar los $2 por cada atracción. Cada persona tendrá la misma ecuación $m=2r$ . Sin preguntar a cada uno, no hay manera de saber que ecuación corresponde a quién. Al reemplazar la variable dependiente por la notación de función, es más fácil saber qué función pertenece a cada uno. Al usar la notación de función, es más fácil graficar rectas múltiples.

Ejemplo C

Escribe funciones que representen el total que gasto cada amigo en el parque.

Solución:

$J(r)= 2r$ representa el total de Joseph,

$L(r)= 2r$ representa el total de Lacy,

$K(r)= 2r$ representa el total de Kevin y

$A(r)= 2r$ representa el total de Alfred.

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Recuerda el ejemplo de la Sección anterior en el que una organización estudiantil vende poleras para recaudar dinero. El costo de impresión de las poleras era expresado por $100+7x$ y las ganancias eran representadas por la expresión $15x$ , en la $x$ es el número de poleras.

a. Escribe dos funciones, una para el costo y otra las ganancias.

b. Escribe una inecuación que represente un costo menor o igual a $800.

c. Escribe una ecuación que represente una ganancia igual a $1500.

d. ¿Cuántas poleras deben vende para recaudar $1500?

Solución:

a. La función para el costo sería $C(x)=100+7x$ y para las ganancias sería $R(x)=15x$ .

b. Ya que $C(x)$ representa los costos, debemos reemplazar $C(x)$ por $800 y reemplazar el símbolo de igualdad por uno de desigualdad apropiado.

$100+7x \le 800$

Esto se lee como $100+7x$ es menor o igual que $800, así que hemos escrito bien la inecuación.

c. Al reemplazar $R(x)$ , por $1500 obtenemos.

$1500=15x.$

d. Debemos encontrar el valor de $x$ que satisfaga la igualdad. Pareciera que 100 es la respuesta. Al verificar comprobamos que 100 si satisface la igualdad. Los estudiantes deben vender 100 poleras para obtener una ganancia de $1500.

$1500=15(100)$

$1500=1500$

Práctica

Reescribe usando la notación de función: $y= \frac{5}{6} x-2$ .
Reescribe usando la notación de función: $m=n^2+2n-3$ .
¿Qué ventajas tiene usar la notación de función?
Escribe una función que exprese la cantidad de dinero ganado luego de trabajar algunas horas con un pago de $10 por hora.
Escribe una función que represente el número que cortes que debes hacer para cortar una cinta en $x$ número de partes.
Jackie y Mayra recolectarán $2 cada una por cada canasta que hagan durante un juego. Escribe dos funciones, una para cada niña, que expresen cuando dinero recolectarán.

Ejercicios Mixtos

Compara los siguientes números $23 \ \underline{\;\;\;\;\;} \ 21.999$ .
Escribe una ecuación que presente lo siguiente: El cociente de 9.6 y 4 es $g$ .
Escribe una inecuación que presente lo siguiente: 11 menos $b$ es al menos 77.
Encuentra el valor de la variable $k:13(k)=169$ .

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