Dominio y Rango de una Función

En esta Sección reforzaras tus conocimientos previos sobre las funciones, aprenderás a crear tablas de valores para una función y a identificar su dominio y rango.

Supón que tienes una función que te permita ingresar el número de años que te quedan hasta tu jubilación y que te como resultado la cantidad de dinero que habrás ahorrado. ¿Cómo determinarías el dominio de una función así? ¿Cómo decidirías el rango? Al terminar esta Sección, serás capaz de crear una tabla de valores para una función como esta y establecer su dominio y rango.

Orientación

Usar una Función para Crear un Tabla

Una función es, en realidad, una ecuación. Por lo tanto, se puede crear una tabla de valores con valores que representen a la variable independiente. La respuesta a cada reemplazo representa $f(x)$ .

Ejemplo A

Usa la función de Joseph para crear una tabla de valores Debido a que la variable representa las veces que Joseph se subirá a una atracción, no tiene sentido incluir valores negativos en la tabla.

Solución:

$R$	$J(r) = 2r$
0	$2(0) = 0$
1	$2(1) = 2$
2	$2(2) = 4$
3	$2(3) = 6$
4	$2(4) = 8$
5	$2(5) = 10$
6	$2(6) = 12$

Como puedes ver, la lista no puede incluir todas las posibilidades. Una tabla solo permite organizar la información de manera precisa. También proporciona una referencia fácil para la búsqueda de datos y ofrece un conjunto de coordenadas que se pueden dibujar para crear una representación gráfica de la función. Una tabla tiene sus limitaciones; por ejemplo, no puede representar cantidades infinitas de información y no siempre muestra las posibilidades de valores fraccionarios para la variable independiente.

Dominio y Rango de una Función

El conjunto de posibles valores para la variable independiente se llama dominio. El dominio puede expresarse en palabras, como un conjunto o como una inecuación. Los valores resultantes de la sustitución del dominio representan el rango de la función.

El dominio de la función que representa la situación de Joseph no incluye valores negativos, ya que no se puede subir a las atracciones un número negativo de veces. Tampoco puede subirse una fracción de vez, por lo que tampoco se incluyen decimales o fracciones. Por lo tanto, los valores de la variable independiente r serán número enteros comenzando por cero.

Dominio: Todos los números enteros positivos.

Los valores que resultan de reemplazar por número enteros son números enteros por dos. Por lo tanto, el rango de la función que representa la situación de Joseph siguen siendo números enteros, pero el doble de grandes.

Rango: Todos los números pares enteros positivos.

Ejemplo B

Una pelota de tenis rebota desde cierta altura y vuelve a rebota un 75% su altura anterior. Escribe una función para esta situación y determina su dominio y rango.

Solución: La función que representa esta situación es $h(b)= 0.75b$ , donde $b$ representa la altura de rebote anterior.

Dominio: La altura de rebote anterior puede ser cualquier número positivo, así $b \ge 0$ .

Rango: La nueva altura es 75% de la altura anterior, por lo que también puede ser cualquier número positivo (decimal o entero), así el rango son todos los números reales positivos.

Ejemplo C

Encuentra el rango de $f(x)=2x-3$ si el dominio es $0, 1, 2, 3$ .

Solución:

Ya que el rango es el valor de salida, debemos reemplazar el dominio para ver qué valores obtenemos.

$f(0)=2(0)-3=-3$

$f(1)=2(1)-3=-1$

$f(2)=2(2)-3=1$

$f(3)=2(3)-3=3$

El rango para el dominio dado es $-3, -1, 1, 3$ .

Notas como usamos la notación de función para diferenciar cada valor de entrada con su respectivo valor de salida. Este será útil más adelante.

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Eli gana $20 por hora como tutora de matemática.

a. Escribe una función que exprese la cantidad de dinero que gana.

b. ¿Cuál es el dominio y rango de esta función?

c. Supón que Eli solo trabaja por 1, 1,5 o 2 horas. Expresa ese dominio y el rango correspondiente en una tabla.

Soluciones:

a. $M(h)$ representará el dinero que gana por $h$ horas. La función es $M(h)=20h$ .

b. Debido a que las horas trabajadas solo pueden ser cero o positivas, el dominio, $h\ge 0$ Si Eli trabaja cero horas ganará cero dólares. Además, puede ganar cualquier cantidad de dinero positiva, así que el rango son todos los números reales positivos. Es decir, $M\ge 0$ .

c. Primero reemplaza el dominio en la función:

$M(1)=20(1)=20$

$M(1.5)=20(1.5)=30$

$M(2)=20(2)=40.$

Luego haz una tabla con estos valores:

$h$	$M(h)$
1	20
1.5	30
2	40

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Domain and Range of a Function (12:52)

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Define dominio.
Verdadero o Falso El conjunto de posibles valores para la variable independiente se llama rango.
Crea una tabla para $-5 \le x \le 5$ si $f(x)= -(x)^2- 2$ .

Del ejerció 4 al 8, identifica el dominio y rango de cada función.

Dustin cobra $10 por hora como podador de césped.
Maria cobra $25 por hora como tutora de matemática, con un costo mínimo de $15.
$f(x) = 15x - 12$
$f(x) = 2x^2 + 5$
$f(x)=\frac{1}{x}$

Crea una situación en la que el dominio sean todos los números reales y el rango, todos los números enteros.
¿Cuál es el rango de la función $y = x^2 - 5$ si el dominio es $-2$ , $-1$ , 0, 1, 2?
¿Cuál es el rango de la función $y = 2x - \frac{3}{4}$ si el dominio es $-2.5$ , 1.5, 5?
Angie gana $6,5 por hora como cajera en una tienda. Haz una tabla de valores que muestre sus ganancias para los valores 5, 10, 15, 20, 25, 30.
El área de un triángulo se obtiene con: $A = \frac{1}{2}bh$ . Si la base del triángulo son 8 centímetros, haz una tabla que muestra el área del triángulo para alturas de 1, 2, 3, 4, 5, y 6 centímetros.
Haz una tabla de valores para la función $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ si los valores de salida son $-1$ , 0, 1, 2, 3, 4, 5.

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