Funciones en un Plano Cartesiano

En esta Sección aprenderás a graficar puntos de una función en un plano cartesiano. También aprenderás a crear una tabla de valores y una función a partir del gráfico de una función.

Supón que tienes un conjunto de puntos, en el que las coordenadas de $x$ representan el número de meses que han pasado desde que compraste un computador $y$ las coordenadas de y representa cuánto cuesta el computadores. ¿Podrías graficar estos puntos en un punto cartesiano? ¿Qué pasaría si la situación fuera inversa y tuvieras los puntos graficados? ¿Podrías identificar las coordenadas de los puntos y la función de los puntos? En esta Sección, aprenderás todo lo que necesitas saber para realizar ejercicios como estos.

Orientación

Funciones como Gráficos

Luego de crear una tabla para una función, el siguiente paso es visualizar la relación graficando las coordenadas (valor independiente, valor dependiente). Anteriormente trabajamos en graficar pares ordenados en un plano cartesiano. La primera coordenada representa la distancia horizontal desde el origen (el punto donde los ejes intersecan). La segunda coordenada representa la distancia vertical desde el origen.

Para graficar un punto coordenado como (4, 2) podemos comenzar en el origen.

Debido a que la primera coordenada es cuatro positivo, debemos movernos 4 unidades a la derecha.

Desde este punto, debido a que la segunda coordenada es dos positivo, debemos movernos 2 unidades hacia arriba.

Ejemplo A

Grafica los siguientes puntos coordenados en el plano cartesiano.

(a) (5, 3)

(b) (–2, 6)

(d) (–5, –7)

Solución: Grafiquemos todos los puntos coordenados en el mismo gráfico.

Notas cómo:

Un valor positivo de $x$ se ubica a la derecha.

Un valor negativo de $x$ se ubica a la izquierda.

Un valor positivo de $y$ se ubica hacia arriba.

Un valor negativo de $y$ se ubica hacia abajo.

Las cuatro secciones en las que se divide un plano cartesiano, también llamado plano coordenado, se llaman cuadrantes. El primer cuadrante corresponde a la Sección superior derecha; el segundo, a la Sección superior izquierda; el tercero, a la Sección inferior izquierda y el cuarto, a la Sección inferior derecha.

Ejemplo B

Supón que quieres representar el gasto total que realizó Joseph en el parque de diversiones. Usando la tabla que se creó en la Sección anterior, se puede crear un gráfico con el número de veces que subió a las atracciones y el costo total.

$r$	$J(r) = 2r$
0	$2(0) = 0$
1	$2(1) = 2$
2	$2(2) = 4$
3	$2(3) = 6$
4	$2(4) = 8$
5	$2(5) = 10$
6	$2(6) = 12$

Los puntos verdes representan la combinación de $(r, J(r))$ . Los puntos no están conectados porque el dominio de esta función son todos los números enteros. Al conectar los puntos indicamos que todos los valores entre los pares ordenados son soluciones a esta función. ¿Puede Joseph subirse a las atracciones $2 \frac{1}{2}$ veces? ¡Claro que no! Por lo tanto, esta situación se presenta con un gráfico de dispersión.

Escribir una Función Usando un Gráfico

En esta Sección, aprenderás a reconocer diferentes tipos de funciones. Hay métodos específicos que puedes usar para reconocer cada tipo de función que te ayudarán a encontrar función correcta. Por ahora, revisaremos algunos ejemplos básicos para encontrar patrones que nos ayuden a descubrir la relación entre las variables dependientes y las independientes.

Ejemplo C

El gráfico de abajo muestra la distancia que una oruga recorre en cierto tiempo. Encuentra la función que represente la relación entre el tiempo y la distancia.

Solución: Haz una tabla de valores con varios puntos coordenados para identificar un patrón.

$&\text{Time} && 0 && 1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6\\\&\text{Distance} && 0 && 1.5 && 3 && 4.5 && 6 && 7.5 && 9$

Podemos ver que por cada minuto la distancia aumenta en 1,5 pies. Podemos escribir una función como:

$\text{Distance} = 1.5 \times \ \text{time}$

La regla de la función es $f(x) = 1.5x$ .

En muchos casos, tendrás un gráfico a partir del cual deberás determinar la relación entre la variable dependiente e independiente. A partir de un gráfico, podrás leer pares de puntos ordenados que se encuentran en la curva de la función. Los puntos coordenados entregan los valores de las variables dependientes e independientes. Estas variables se relacionan entre ellas con una función. Es importante asegurarse que esta función represente a todos los puntos en la curva. Encontrar la función de un conjunto de información te permite hacer predicciones.

Analizar el Gráfico de una Situación Real.

Los gráficos se usan para representar información en situaciones reales. Puedes encontrar gráficos en diarios, campañas políticas, revistas de ciencia y presentaciones de trabajo.

Ejemplo D

Este ejemplo representa un gráfico que podrías ver en las noticias. La mayoría de los científicos tradicionales creen que el aumento en la emisión de gases invernaderos, particularmente dióxido de carbono, son los principales contribuyentes al calentamiento global. El gráfico de abajo ilustra el aumento de los niveles de dióxido de carbono en el mundo industrializado.

A partir de este gráfico, podemos encontrar la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera en distintos años.

1900 - 285 partes por millón

1930 - 300 partes por millón

1950 - 310 partes por millón

1990 - 350 partes por millón

En las secciones próximas, aprenderás a aproximar una ecuación que se ajuste a la información con el uso de una calculadora gráfica.

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Guiada

Gráfica la función que tenga la siguiente tabla de valores. Encuentra la función.

$& 0 && 1 && 2 && 3 && 4\\\& 0 && 1 && 4 && 9 && 16$

Solución:

La tabla nos da un conjunto de pares ordenados.

(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16).

Para graficar la función debemos trazar los pares coordenados. Podemos observar que el patrón es que los valores dependientes son cuadrados de los independientes. Debido a que el cuadrado de los números siempre será positivo y el cuadrado de una fracción siempre será una fracción, el dominio de esta función son todos los números reales positivos o $x \ge 0$ . Esto quiere decir que los pares ordenados pueden ser conectados con una curva. Esta curva continuará infinitamente en dirección positiva, representada por una flecha.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Functions as Graphs (9:34)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Del 1 al 5, grafica los siguientes puntos coordenados en el plano cartesiano.

(4, –4)
(2, 7)
(–3, –5)
(6, 3)
(–4, 3)

Usando el plano cartesiano de abajo, encuentra las coordenadas de los puntos a, b, c, d y e.

Del 7 al 9, grafica la relación en un plano cartesiano. De acuerdo con la situación, determina si debes conectar los pares ordenados con una curva o dejar el gráfico como un gráfico de dispersión.

$&& X && -10 && -5 && 0 && 5 && 10\\\&& Y && -3 && -0.5 && 2 && 4.5 && 7$
.

Lado del cubo (en pulgadas)	Volumen del cubo (en pulgadas al cubo) $^3$ )
0	0
1	1
2	8
3	27
4	64

Tiempo (en horas)	Distancia (en millas)
–2	–50
–1	25
0	0
1	5
2	50

Del 10 al 12, grafica la función.

Brandon es miembro de un cine club. Paga una membrecía anual de $50 y $8 por película.
$f(x) = (x - 2)^2$
$f(x) = 3.2^x$

Los alumnos de una escuela local realizaron la Encuesta de Comportamiento Riesgoso Juvenil (YRBS). El siguiente gráfico muestra el porcentaje de alumnos que afirmaron ser fumadores actuales. Una persona es considerada un fumador actual si él o ella ha fumado uno o más cigarros en los últimos 30 días. ¿Qué porcentaje de estudiantes eran fumadores actuales en los siguientes años?
1. 1991
2. 1996
3. 2004
4. 2005

El gráfico de abajo muestra el promedio de vida de las personas basado en los años que nacieron. Esta información proviene del Informe Nacional de Estadísticas Vitales de Centro para el Control y Prevención de Enfermedades. ¿Cuál es el promedio de vida de una persona que nació en los siguientes años?
1. 1940
2. 1955
3. 1980
4. 1995

El siguiente gráfico muestra el ingreso medio de una persona basado en el número de años que estudiaron. La curva superior muestra el ingreso medio para hombres y la curva inferior muestra el ingreso medio para mujeres (Fuente: Censo de Estados Unidos, 2003). ¿Cuál es el ingreso medio de un hombre que ha estudiado la siguiente cantidad de años?

a. 10 años de educación

b. 17 años de educación

¿Cuál es el ingreso medio de una mujer que ha estudiado la siguiente cantidad de años?

c. 10 años de educación

d. 17 años de educación

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