Prueba de la Recta Vertical

Supón que cada alumno de tu clase fuera representado por un punto. La coordenada sería el curso de cada alumno y la coordenada sería la edad de cada alumno, ¿Representaría el conjunto de puntos una función? ¿Cómo puedes hacer esto? ¿Qué pasaría si dibujaras el conjunto de puntos en un plano cartesiano? ¿Hay algún tipo de prueba que puedas realizar para verificar que se trata de una función? Al terminar esta Sección, pondrás responder estas preguntas y determinar si una relación corresponde a una función o no.

Orientación

Determinar si una Relación es una Función

Una función es una relación entre las variables dependientes e independientes. Es una regla que usa los valores de la variable independiente para asignar los valores de la variable dependiente. Una función puede expresarse en palabras, como una ecuación, como una tabla de valores y como un gráfico. Todas esas representaciones son útiles y necesarias para entender la relación entre las variables.

Definición: Una relación es un conjunto de pares ordenados.

Matemáticamente, una función es un tipo especial de relación.

Definición: Una función es una relación entre dos variables, de manera que el valor independiente tiene EXACTAMENTE un valor dependiente.

Esto quiere decir que cada valor de tiene solo un valor de asignado. Sin embargo, no todas las funciones tienen valores e .

Ejemplo A

Una forma de determinar si una relación es una función es construir un diagrama de flujo que una cada valor dependiente con su valor independiente correspondiente. Tomemos la relación que representa las alturas de todos los alumnos en una clase. El dominio es el conjunto de personas en la clase y el rango es el conjunto de alturas. Cada persona de la clase puede tener solo una altura a la vez. Esta relación es la función; para cada persona hay exactamente una altura.

En una función, un valor del rango puede pertenecer a más de un elemento del dominio, así más de una persona en la clase puede tener la misma altura. Sin embargo, es imposible que una persona tenga alturas múltiples.

Ejemplo B

Determina se la relación es una función.

a) (1, 3), (–1, –2), (3, 5), (2, 5), (3, 4)

b) (–3, 20), (–5, 25), (–1, 5), (7, 12), (9, 2)

Solución:

a) Para determinar si una relación es una función, debemos usar la definición de función. Cada coordenada de puede tener SOLO una coordenada de . Sin embargo, debido a que la coordenada 3 en tiene dos coordenadas en , 4 y 5, esta relación NO es una función.

b) Al aplicar la definición de función, cada coordenada de debe tener solo una coordenada en Por lo que esta relación es una función.

Determinar si un Gráfico es una Función

Supón que tienes el gráfico de la relación. ¿Cómo puedes determinar si es una función?

Puedes organizar los pares ordenados en una tabla o diagrama de flujo, similar a la situación de los alumnos y las alturas. Este proceso puede demorar, pero es una manera de hacerlo. Otra opción es usar la prueba de la recta vertical. Esta prueba nos entrega una visualización rápida y efectiva para decidir si el gráfico es una función.

Teorema:

Parte A) una relación es una función, siempre que no haya rectas verticales intersecando la relación graficada en más de un punto.

Parte B) si una relación graficada no interseca a una recta vertical en más de un punto, entonces una relación es una función.

Ejemplo C

¿Es la relación graficada una función?

Al dibujar una recta vertical (la línea roja) en el gráfico, podemos ver que la recta vertical interseca el círculo más de una vez. Por lo que esta relación NO es una función.

Veamos el siguiente ejemplo:

Sin importar en que parte del gráfico se trace una recta vertical, solo habrá una interSección. Por lo que esta relación es una función.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Práctica Guiada

Determina si la relación es una función.

Solución:

Imagina una recta vertical que se mueve en el plano. ¿Habría más de un punto en el que la recta interseque el gráfico, al mismo tiempo?

No hay ningún punto en este gráfico en el que una recta vertical interseque más de una vez al mismo tiempo. Al usar la prueba de la recta vertical, podemos concluir que esta relación es una función.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Functions as Graphs (9:34)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Del 1 al 4, determina si la relación es una función.

1. (1, 7), (2, 7), (3, 8), (4, 8), (5, 9)
2. (1, 1), (1, –1), (4, 2), (4, –2), (9, 3), (9, –3)

Del 5 al 6, escribe una función para la relación graficada.

Del 7 al 8, determina si la relación graficada es una función.

Ejercicios Mixtos

9. Un parque de diversiones cobra $12 por entrada. Calcula el dinero recaudado si 1296 personas visitan el parque.
10. Un grupo de alumnos se encuentran en una sala. Si 25 alumnos salen de la sala y solo quedan del grupo original dentro de la sala. ¿Cuántos alumnos habían en la habitación en un principio?
11. Evalúa la expresión si y .
12. 12. La cantidad de goma que se necesita para hacer una pelota se encuentra con la fórmula , donde . Determina la cantidad de material necesario para hacer una pelota con un radio de 7 pulgadas.