Modelos de Resolución de Problemas

Supón que estas realizando una prueba de ingreso a una universidad y encuentras un tipo de problema que no habías visto antes. ¿Qué herramientas puedes usar que te ayuden a resolver el problema? ¿Hay algo que puedas hacer antes de intentar resolver el problema? ¿Hay algo que puedas hacer después? Esta Sección te entregará una guía paso a paso para resolver problemas y algunas estrategias que puedes usar para resolver cualquier problema.

Orientación

Un Plan para Resolver Problemas

Muchos de los procesos matemáticos se aplican a situaciones reales. El pensamiento crítico y la resolución de problemas son habilidades matemáticas. A pesar de que estas habilidades pueden ser las más difíciles, también son las más gratificantes.

Para poder aplicar la matemática a situaciones reales, debes tener una “caja” de estrategias que te sirvan de ayuda. Muchas lecciones de álgebra se centran en llenar esta caja de manera que seas cada vez mejor resolviendo problemas y puedas resolver situaciones matemáticas en tu vida cotidiana.

Paso 1: Lee y Comprende el Problema Dado

Cada problema que enfrentes te entregará pistas necesarias para resolverlo. A continuación, presentamos una lista de pasos que te pueden ayudar a entender el problema.

Lee el problema con atención. Asegúrate de leer todas las oraciones. Se cometen muchos errores al no leer la situación por completo.

Subraya o resalta palabras claves. Estas incluyen operaciones matemáticas como sumas, restas y , y productos, y verbos matemáticos cómo igual, más que, menos que , y es. Las palabras claves también incluyen sustantivos descritos en la oración, como tiempo, distancia, etc.

Visita la página Wylie Intermediate Website ( http://wylie.region14.net/webs/shamilton/math_clue_words.htm) para obtener más palabras claves.

Piensa si has visto un problema como ese antes. A pesar de que los sustantivos y verbos pueden ser distintos, la situación general puede ser similar a alguna que hayas resuelto antes.

¿Qué debes hacer? ¿Cuál es la pregunta que debes responder?

¿Qué información puedes obtener de la situación? Eso suele incluir números u otros tipos de información.

Cuando hayas descubierto de que se trata el problema, debes establecer las variables que van a representar los sustantivos del problema. Recuerda usar letras que se relacionen con las palabras de la situación.

Paso 2: Haz un Plan para Resolver el Problema

El siguiente paso para resolver un problema es hacer un plan o desarrollar una estrategia. ¿De qué manera te puede ayudar la información que sabes a resolver los valores desconocidos?

Estas son algunas de las estrategias más comunes que aprenderás.

• Dibujar un diagrama
• Hacer una tabla
• Buscar un patrón
• Adivinar y verificar
• Trabajar a la inversa
• Usar una fórmula
• Leer y hacer gráficos
• Escribir ecuaciones
• Usar modelos lineales
• Usar análisis dimensional
• Usar el tipo correcto de función para la situación

En la mayoría de los problemas, usarás una combinación de estrategias. Por ejemplo, dibujar un diagrama y buscar patrones son buenas estrategias para la mayoría de los problemas. También se suele hacer una tabla y graficar dicha tabla. La estrategia de “escribir una ecuación” es una que suele resultar en el mayor de los casos en el estudio del álgebra.

Paso 3: Resuelve el Problema y Verifica los Resultados

Luego de crear un plan, puedes usarlo para resolver el problema.

El último paso en la resolución de problemas siempre debería ser verificar e interpretar la respuesta. Las siguientes preguntas te pueden ayudar.

• ¿Tiene sentido la respuesta?
• Si reemplazas la solución en el problema original, ¿se vuelve verdadera la oración?
• ¿Puedes usar otro método para obtener la misma respuesta?

Paso 4: Compara Enfoques Alternativos

A veces, es mejor resolver ciertos problemas con un método específico. La mayoría de las veces, sin embargo, puede resolverse con diferentes estrategias. Cuando te familiarices con todas las estrategias de resolución de problemas, depende de ti escoger el método que consideres más apropiado. En este libro, solemos utilizar más de un método para resolver un problema. De esta manera podemos demostrar las fortalezas y debilidades de las diferente estrategias al aplicarlas en diferentes tipos de problemas.

Sin importar la estrategia utilizada, siempre debes implementar un plan para resolver problemas de palabras. Este es un resumen del plan de resolución de problemas.

Paso 1: Entiende el problema.

Paso 2: Idea un plan – Transforma. Idea una forma de resolver el problema. Escribe una ecuación, dibuja un diagrama, haz un gráfico o construye una tabla para comenzar tu plan de resolución de problemas.

Paso 3: Ejecuta el plan – Resuelve.

Paso 4: Revisa e interpreta. Verifica que hayas usado toda la información. Luego confirma que tu respuesta tenga sentido.

Resuelve Problemas Reales con un Plan

Ejemplo A

Jeff tiene 10 años. Su hermano pequeño, Ben, tiene 4 años. ¿Cuántos años tendrá Jeff cuando tenga dos veces la edad de Ben?

Solución: Comienza por entender el problema. Subraya las palabras claves.

Jeff tiene 10 años. Su hermano pequeño, Ben , tiene 4 años. ¿Cuántos años tendrá Jeff cuando tenga dos veces la edad de Ben? ?

La pregunta que debemos responder es “¿Cuál será la edad de Jeff cuando sea dos veces más grande que Ben?”

Puedes adivinar y verificar, usa una fórmula, haz una tabla o busca un patrón.

La clave es “dos veces la edad”. Esta clave quiere decir el doble de la edad de Ben. Comienza por multiplicar las edades posibles. Busquemos un patrón.

. Jeff ya es mayor de 8 años.

. Esta opción no tiene sentido porque Jeff ya tiene 10 años.

. En dos años, Jeff tendrá 12 años y Ben tendrá 6 años. Jeff será dos veces más grande que Jeff.

Jeff tendrá 12 años cuando tenga el doble de años que Ben.

Ejemplo B

Otra forma de resolver el problema es escribir una expresión algebraica.

Solución:

será la edad de Ben. Queremos saber qué edad tendrá Jeff cuando sea dos veces más grande que Ben, lo que puede ser expresado como . Ya que Jeff tiene 10 años y Ben tiene 4 años, Jeff ya es 6 años más grande que Ben. La edad de Jeff se puede expresar como . Queremos saber qué edad tendrá Jeff cuando tenga el doble de años que Ben, así al juntar estas dos expresiones obtenemos:

.

¿Qué valor de satisface esta ecuación? Al resolver esta ecuación obtenemos . Pero es la edad de Ben y Jeff es 6 años mayor, así .

Cuando Jeff tenga 12 será dos veces mayor que Ben, ya que 12 es el doble de 6.

Ejemplo C

Matthew tiene previsto cosechar su maíz este otoño. El campo tiene 660 filas de maíz con 300 mazorcas cada fila. Matthew calcula que sus trabajadores terminarán de cosechar el maíz en 20 horas. ¿Cuántas mazorcas cosecharán sus trabajadores por hora?

Solución: Comienza por subrayar la información clave.

Matthew tiene previsto cosechar su maíz este otoño. El campo tiene 660 filas de maíz con 300 mazorcas cada fila . Matthew calcula que sus trabajadores terminarán de cosechar el maíz en 20 horas. ¿Cuántas mazorcas cosecharán sus trabajadores por hora? ?

Puedes dibujar la situación (lo cual puede demorar), escribir una ecuación, buscar un patrón o hacer una tabla. Tratemos de usar el razonamiento lógico.

Necesitamos descifrar cuantas mazorcas hay en el campo: . Hay 198.000 mazorcas en el campo. Tomará 20 horas cosechar todo el campo, por lo que debemos dividir 198.000 por 20 para obtener la cantidad de mazorcas recogidas por hora.

Los trabajadores pueden cosechar 9.900 mazorcas por hora.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Práctica Guiada

La suma de los ángulos en un triangulo es 180 grados. Si el segundo ángulo es el doble del primer ángulo y el tercer ángulo es el triple del primer ángulo, ¿cuánto miden los ángulos?

Solución:

El primer paso es leer y determinar lo que el problema nos pide. Luego de leer el problema, es claro que debemos determinar la medida de cada ángulo del triángulo. Usaremos la información dada para resolver este problema.

El segundo paso es idear un plan. Ya que el problema nos entrega información sobre la relación de los ángulos, podemos escribir expresiones algebraicas y una ecuación para resolver este problema representará la medida del primer ángulo. El segundo ángulo es el doble del primero. La expresión correcta es . El tercer ángulo es el triple del primero, así la expresión debe ser . Además, sabemos que la suma de los ángulos debe ser 180 grados. A partir de esto podemos escribir una ecuación.

El tercer paso es resolver el problema. Al simplificar obtenemos

Ahora sabemos que el primer ángulo mide 30 grados, lo que quiere decir que el segundo mide 60 grados y el tercero mide 90 grados. Verifiquemos si estos tres ángulos suman 180 grados.

Los tres ángulos suman 180 grados.

El cuarto paso es considerar otros métodos de resolución. Podrías haber usado la técnica de adivinar y verificar y tal vez habrías encontrado la respuesta correcta. Sin embargo, hay muchas opciones para resolver este problema. ¿Cuál hubiera sido tu primera suposición? Hay muchas posibilidades para comenzar a adivinar y verificar que resolver este problema de manera algebraica parece ser la manera más sencilla.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Word Problem-Solving Plan 1 (10:12)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

1. ¿Cuáles son los cuatro pasos para resolver problemas?
2. Nombre tres estrategias que puedes usar para idear un plan. ¿Con cuál o cuáles estas más familiarizado?
3. ¿Qué tipos de estrategias funcionan mejor juntas? ¿Por qué?
4. Supón que los trabajadores de Matthew se demoran 36 horas en cosechar el campo. ¿Cuántas mazorcas por hora cosecharían?
5. ¿Por qué es difícil resolver el problema de Ben y Jeff con un diagrama?
6. ¿Cómo verificas una solución a un problema? ¿Cuál es el propósito de verificar la solución?
7. Hay 12 personas en un jurado; hay cuatro veces más mujeres que hombres. ¿Cuántas mujeres hay?
8. Una cuerda de 14 pies es cortada en dos partes. Una parte de la cuerda es 2,25 pies más larga que la otra. ¿Cuánto miden las dos partes de cuerda?
9. Un suéter cuesta $35. Encuentra el costo total si el impuesto de venta es de 7.75%.
10. Este año recibiste un aumento del 5%. Si tu nuevo sueldo es $45.000, ¿Cuál era tu sueldo antes del aumento?
11. Alfombrar una pieza de . cuesta $250. ¿Cuánto cuesta alfombrar una pieza de ?
12. Una tienda comercial tiene un descuento del 15% para sus empleados. Supón que un empleado tiene un cupón de descuento de $10 y quiere comprar una cartera de $65. ¿Cuál es el costo total de la cartera si usa el descuento de empleados y el cupón?
13. Para realizar un baile en un hotel, debes pagar $250 más $20 por invitado. ¿Cuánto debes pagar si invitas a 25 personas?
14. La Feria del Condado de San Diego cobra $12 por entrada y 1,5 por atracción. Si Rena gastó $24 en total, ¿a cuántas atracciones se subió?
15. Una tienda de helados cobra $2,92 por un cono pequeño, $3,5 por un cono mediano y $4,25 por un cono grande. El sábado pasado, la tienda vendió 22 conos pequeños, 26 conos medianos y 15 conos grandes. ¿Cuánto dinero recaudó la tienda?

Ejercicios Mixtos

16. Escoge una variable apropiada para la siguiente situación: Lily se demora 45 minutos en bañar y cepillar a un perro. ¿Cuántos perros puede bañar y cepillas en 9 horas?
17. Transforma el siguiente problema en una inecuación algebraica: Catorce menos que el doble de un número es mayor o igual a 16.
18. Escribe el patrón de la siguiente tabla en palabras y en una ecuación.

19. Verifica si es una solución para .
20. ¿Cuál es el dominio y el rango del siguiente gráfico?