Tendencias en Datos

En esta Sección aprenderás a responder preguntas sobre datos al buscar tendencias y analizar los datos de manera tabular.

Supón que todos los días tomas la misma cantidad de vitaminas, por lo que el número de vitaminas restantes en el frasco disminuyen de manera constante. Si supieras cuantas vitaminas había en el frasco en un principio, ¿crees que podrías determinar el número de vitaminas restantes luego de cierta cantidad de días? ¿Sería más fácil si vieras la información en una tabla, con el número de días en una columna y el número de vitaminas restantes en el frasco en otra columna? En esta Sección, aprenderás a buscar patrones en la información para resolver problemas como este.

Orientación

Estrategias para Resolver Problemas: Haz una Tabla, Busca un Patrón

Esta Sección se centra en dos estrategias aprendidas en la Sección anterior: Hacer una tabla y buscar un patrón. Estas son las estrategias más comunes en álgebra. Revisemos el plan de cuatro plazos para resolver problemas de la Sección anterior.

Paso 1: Entiende el problema.

Paso 2: Idea un plan – Transforma. Idea una forma de resolver el problema. Escribe una ecuación, dibuja un diagrama, haz un gráfico o construye una tabla para comenzar tu plan de resolución de problemas.

Paso 3: Ejecuta el plan – Resuelve.

Paso 4: Revisa e interpreta. Verifica que hayas usado toda la información. Luego confirma que tu respuesta tenga sentido.

Usa una Tabla para Resolver un Problema

Cuando un problema tiene información que debe ser organizada, la estrategia más efectiva es crear una tabla. Una tabla también es útil cuando el problema pide registrar una gran cantidad de información. Es más fácil ver patrones y relaciones numéricas cuando la información está organizada en una tabla.

Ejemplo A

Josie comienza a trotar constantemente. En la primera semana, trota 10 minutos por día y la segunda semana trota 12 minutos por día. Cada semana, Josie quiere aumentar en dos minutos el tiempo que trota por día. Si trota seis días a la semana cada semana, ¿Cuál será si tiempo de trote en seis semanas?

Solución: Organiza la información en una tabla.

1º Semana	2º Semana	3º Semana	4º Semana
10 minutos	12 minutos	14 minutos	16 minutos
60 min/sem	72 min/sem	84 min/sem	96 min/sem

Podemos ver que el patrón de este problema es que el número de minutos aumenta en 12 cada semana. Si seguimos con este patrón, Josie correrá por 120 minutos en la sexta semana.

¡No olvides verificar la respuesta! El patrón comienza en 60 y aumenta en 12 cada semana luego de la primera semana. La ecuación que representa esta situación es $t = 60 + 12(w - 1)$ . Al reemplazar $w$ , por 6, obtenemos la ecuación $t = 60 + 12(6 - 1) = 60 + 60 = 120$ .

Busca un Patrón para Resolver un Problema

Algunas situaciones tienen un patrón evidente, lo que permite reconocer el patrón con mayor facilidad. En este caso, no necesitas organizar la información en una tabla. En cambio, puedes usar el patrón para encontrar la solución.

Ejemplo B

Ordenas pelotas de tenis en forma de triángulo como se muestra abajo. ¿Cuántas pelotas habrían en un triangulo de 8 capas?

Una capa: Es fácil ver que un triángulo de una capa solo tiene una pelota.

Dos capas: Para que un triangulo tenga dos capas, debemos agregar dos pelotas debajo de la capa superior de una pelota. Es útil hacer un dibujo de las distintas capas en el triángulo.

Tres capas: Para tener tres capas, debemos agregar tres pelotas debajo de las dos capas existentes.

Podemos completar las primeras tres filas de la tabla.

$&1 && 2 && 3 && \quad \ \ 4\\\&1 && 3 && 6 && 6 + 4 = 10$

Para encontrar el número de pelotas de tenia en 8 capas, continúa el patrón.

$& \qquad \ 5 && \qquad \ 6 && \qquad \ 7 && \qquad \ 8\\\&10+5=15 && 15+6=21 && 21+7=28 && 28+8=36$

Habrás 36 pelotas de tenis en 8 capas.

Verifica: Cada capa del triángulo tiene una pelota más que la capa anterior. En un triángulo de 8 capas, cada capa tiene el mismo número de pelotas que su posición. Al sumar estos números obtenemos:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$ pelotas

La respuesta es correcta.

Comparar Enfoques Alternativos para Resolver Problemas

A continuación compararemos los métodos "Hacer una Tabla" y “Buscar un Patrón” al usar ambos patrones para resolver un problema.

Ejemplo C

Andrew cobra un cheque por $180 y pide billetes de $10 y $20. El cajero le da 12 billetes. ¿Cuántos billetes de cada tipo recibió?

Solución: Método 1: Hacer una Tabla

$&\text{Tens} && 0 && 2 && 4 && 6 && 8 && 10 && 12 && 14 && 16 && 18\\\&\text{Twenties} && 9 && 8 && 7 && 6 && 5 && 4 && 3 && 2 && 1 && 0$

La combinación que suma 12 es seis billetes de $10 y seis billetes de $20.

Método 2: Usar un Patrón

El patrón es que para cada par de billetes de $10, el número de billetes de $20 se reduce en uno. Comienza con el número de billetes de $20 más alto. Por cada billete de $20 que se reduce, agrega dos billetes de $10.

$6(\$10) + 6(\$20) = \$180$

Verifica: Seis billetes de $10 y seis billetes de $20 $=6(\$10) + 6(\$20) = \$60 + \$120 = \$180$ .

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Guiada

Los alumnos marcharán en el desfile de bienvenida a clases. Habrá un alumno de kínder, dos alumnos de primero básico, tres alumnos de segundo y así sucesivamente hasta $12^{th}$ . ¿Cuántos alumnos marcharan en el desfile?

¿Puedes hacer una tabla? Absolutamente. ¿Puedes buscar un patrón? Absolutamente.

Solution 1: Haz una tabla.

$&& K && 1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6 && 7 && 8 && 9 && 10 && 11 && 12\\\&&1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6 && 7 && 8 && 9 && 10 && 11 && 12 && 13$

La solución es la suma de todos los números, 91. Habrás 91 alumnos marchando en el desfile.

Solución 2: Busca un patrón.

El patrón es que el número de alumnos es uno más que el número de su curso. Por lo tanto, la solución es la suma de los números desde 1 (kínder) hasta $12^{th}$ . La solución es 91.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Word Problem-Solving Strategies (12:51)

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En el Ejemplo A, ¿Cuál será el tiempo de trote de Josie en ocho semanas?
Britt tiene $2,25 en niqueles y monedas de diez centavos. Si tiene un total de 40 monedas, ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?
Se dibuja un patrón de cuadros de la siguiente manera. ¿Cuántos cuadros habrá en $12^{th}$ diagrama?
Osward está intentando reducir la cantidad de café que toma. Si meta es reducir a 6 tazas de café por semana. Si comenzó con 24 tazas la primera semana, reduce a 21 tazas la segunda semana y llega a 18 tazas la tercera semana, ¿Cuántas semanas le tomará para llegar a su meta?
Taylor retiró un libro de la biblioteca y se demoró cinco días más en devolverlo. Si cargo por atraso es 10 centavos diarios. ¿Cuánto debe pagar?
¿Cuántas horas le tomará a un auto que viaja a 75 millas por hora alcanzar otro auto que viaja a 55 millas por hora, sí el auto más lento comenzó su viaje dos horas antes que el otro auto?
Grace comienza a andar en bicicleta a una velocidad de 12 millas por hora. Un hora después, Dan comienza a andar en bicicleta a una velocidad de 15 millas por hora, siguiendo la misma ruta. ¿Cuánto se demorará en alcanzar a Grace?
Lemuel quiere cercar un terreno rectangular. Tiene 24 pies de material para cercar. ¿Cuál es la mayor área posible que podría cercar?

Ejercicios Mixtos

Determina si la relación es una función: $\left \{(2,6),(-9,0),(7,7),(3,5),(5,3) \right \}.$
Roy trabaja en construcción durante en verano y gana $78 por trabajo. Crea una tabla que relacione el número de trabajos que podría realizar, $j$ , y la cantidad total de dinero que puede ganar, $m$ .
Grafica los siguientes pares ordenados: (4,4); (–5,6), (–1,–1), (–7,–9), (2,–5).
Evalúa la siguiente expresión: $-4(4z - x + 5)$ ; si $x = -10$ y $z = -8.$
El área de un círculo se calcula con la fórmula $A = \pi r^2$ . Determina el área de un círculo con un radio de 6mm.
Louie compró 9 paquetes de chicle a $1,19 cada uno. ¿Cuánto dinero gastó?
Reescribe lo siguiente sin los signos de multiplicación: $16 \times \frac{1}{8} c.$

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