Propiedades de los Números Racionales

En esta Sección aprenderás a distinguir números racionales escritos como fracciones propias o impropias. Además aprenderás a simplificar estos tipos de fracciones y decidir cuál es mayor.

Supón que tú y dos de tus amigos van a comer pizza; tu comes $\frac{3}{5}$ de una pizza individual, uno de tus amigos come $\frac{5}{8}$ de una pizza personal y tu otro amigo come $\frac{4}{3}$ de una pizza personal. ¿Podrías identificar que fracción de pizza es propia o impropia? ¿Podrías ordenar las fracciones de menor a mayor? En esta Sección, aprenderás a responder preguntas como estas para cualquier tipo grupo de fracciones, también conocidas como números racionales.

Orientación

Los números racionales incluyen fracciones, enteros y números naturales. La siguiente definición demuestra que todos los números racionales pueden escribirse como fracción:

Definición: Un número racional es un número que puede escribirse de la forma $\frac{a}{b}$ , donde $a$ y $b$ son enteros y $b \ne 0$ .

Un entero, como el número $3$ , también es un número racional porque puede ser escrito como $\frac{3}{1}$ .

Un Repaso de Fracciones

Puedes pensar un número racional como una fracción de una torta. Si cortas la torta en $b$ trozos, tu porción equivale a un $a$ de esos trozos. Por ejemplo, si tenemos el número racional $\frac{1}{2}$ , podemos imaginar una torta partida en dos. Nuestra porción es una de esas partes. Visualmente, el número racional $\frac{1}{2}$ se ve así:

Existen tres tipos principales de fracciones:

Las fracciones propias son números racionales en el que el numerador es menor que el denominador. Una fracción propia representa un número menor que uno. Una fracción propia siempre representará menos que una torta entera.
Las fracciones impropias son números racionales en el que el numerador es mayor que el denominador. Las fracciones impropias pueden ser reescritas como un número mixto, es decir, un entero más una fracción propia. Una fracción impropia representa un número mayor que uno.
Las fracciones equivalentes son dos fracciones que tienen el mismo valor numérico al ser evaluadas. Por ejemplo, observa la representación visual del número racional $\frac{2}{4}$ .

La representación de $\frac{1}{2}$ es equivalente a la de $\frac{2}{4}$ . Podemos escribir los factores primos del numerador y denominador y eliminar aquellos que se repitan en el numerador y el denominador.

$\left (\frac{2}{4}\right ) = \left (\frac{\cancel{2}\cdot 1}{\cancel{2}\cdot 2 \cdot 1}\right )$ Luego multiplicamos los factores restantes. $\left (\frac{2}{4}\right ) = \left (\frac{1}{2}\right )$

Por lo tanto, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ . Este proceso se llama reducir la fracción o escribir la fracción en valores menores. Reducir una fracción no cambia el valor de la fracción, si no que simplifica la fracción. Al cancelar los factores comunes, obtenemos una fracción en su forma más simple .

Ejemplo A

Clasifica y simplifica los siguientes números racionales .

a) $\left (\frac{3}{7}\right )$

b) $\left (\frac{9}{3}\right )$

c) $\left (\frac{50}{60}\right )$

Solución:

a) Ya que tanto el 3 como el 7 son números primos, $\frac{3}{7}$ es una fracción propia y está escrita en su forma más simple.

b) El numerados es mayor que el denominador; por lo tanto, esta es una fracción impropia.

$\frac{9}{3}= \frac{3 \times 3}{3}= \frac{3}{1}=3$

c) Esta fracción es propia; $\frac{50}{60}= \frac{5 \times 2 \times 5}{6 \times 2 \times 5}= \frac{5}{6}$

Ordenamiento de Números Racionales

Ordenar números racionales implica organizarlos según un conjunto de instrucciones, como ascendente (de menor a mayor) o descendente (de mayor a menor). Ordenar números racionales es útil si queremos determinar que costo por unidad es más barato.

Ejemplo B

Las latas de salsa de tomate vienen en tres tamaños: 8 onzas, 16 onzas y 32 onzas. El costo que cada una es $0,59, $0,99 y $1,29 respectivamente. Encuentra el costo por unidad y ordena los números racionales de menor a mayor.

Solución: Usa proporciones para encontrar el valor por onza: $\frac{\$0.59}{8} = \frac{\$0.07375}{ounce}; \ \frac{\$0.99}{16} = \frac{\$0.061875}{ounce}; \ \frac{\$1.29}{32} = \frac{\$0.0403125}{ounce}$ . Al ordenar los números racionales de menor a mayor obtenemos: 0.0403125, 0.061875, 0.07375.

Ejemplo C

¿Cuál es mayor, $\frac{3}{7}$ o $\frac{4}{9}$ ?

Solución: Comienza por encontrar un denominador común para estas dos fracciones. ¿Qué número es divisible por 7 y 9? $7 \times 9 = 63$ , así el común denominador es 63.

$\frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63} && \frac{4 \times 7}{9 \times 7} = \frac{28}{63}$

Porque $28 > 27, \ \frac{4}{9} > \frac{3}{7}$ .

Video de Repaso

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Ejemplo Guiado

Para las fracciones $\frac{5}{9}$ y $\frac{10}{20}$ :

a.) Determina si son fracciones propias o impropias.

b.) Simplifica si es necesario.

c.) Ordena las fracciones.

Solución:

a.) En ambas fracciones el numerador es menor que el denominador, así que ambas son fracciones propias.

b.) En la fracción $\frac{5}{9}$ , 5 es un número primo y 9 no es un múltiplo de 5, esta fracción no se puede simplificar.

En $\frac{10}{20}$ , ambos números son múltiplos de 10, así que los reescribimos de la siguiente manera.

$\frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10}=\frac{1}{2}.$

c.) Para ordenar las fracciones, usaremos sus versiones simplificadas:

$\frac{5\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{10}{18}$ y $\frac{1\cdot 9}{2\cdot 9}=\frac{9}{18}.$

Ya que

$\frac{9}{18}< \frac{10}{18}$

Entonces

$\frac{1}{2}< \frac{5}{9}.$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Integers and Rational Numbers (13:00)

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¿Cuáles son los tres tipos de fracciones?

Del 2 al 4, determina que fracción del total representa cada zona sombreada.

Del 5 al 8, ordena el conjunto de números racionales de menor a mayor.

$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$
$\frac{11}{12}, \frac{12}{11}, \frac{13}{10}$
$\frac{39}{60}, \frac{49}{80}, \frac{59}{100}$
$\frac{7}{11}, \frac{8}{13}, \frac{12}{19}$

Del 9 al 14, simplifica cada número racional.

$\frac{22}{44}$
$\frac{9}{27}$
$\frac{12}{18}$
$\frac{315}{420}$
$\frac{19}{101}$
$\frac{99}{11}$

Ejercicios Mixtos

Evalúa la siguiente expresión: $\frac{5}{6} d + 7a^2$ ; si $a=(-1)\ \text{and } \ d=24$ .
El largo de un rectángulo es una pulgada más que su ancho. Si el perímetro es 22 pulgadas, ¿Cuáles son los medidas del rectángulo?
Determina s $x=-2$ es una solución para $4x+7 \le 15$ .
Simplifica: $\frac{(7+3) \div 2 \times 3^2-5}{(58-8)}$ .

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