Inversos Aditivos y Valores Absolutos

En esta Sección aprenderás a encontrar el opuesto de un número y su distancia del cero en una recta numérica, mejor conocida como valor absoluto.

Supón que estas creando un presupuesto y gastas $2500 por mes. ¿Cuánto dinero debes ganar cada mes para cubrir tus gastos? ¿Los gastos se deben expresar en números positivos o negativos? ¿Cuál sería el inverso aditivo de los gastos? ¿Cuál sería el valor absoluto? Al terminar este capítulo, podrás responder este tipo de preguntas de manera que ¡no sobrepases tu presupuesto!

Orientación

Grafica y Compara Enteros

Dentro de los números racionales están los enteros. Los enteros son los números naturales y sus negativos. Al comparar enteros, usarás verbos matemáticos como menor que, mayor que, aproximadamente igual a e igual a. Para graficar un entero en una recta numérica, debes dibujar un punto sobre el número que quieras representar.

Ejemplo A

Compara los números 2 y –5.

Solución: Primero, dibujaremos ambos números en una recta numérica.

Podemos comprar enteros al establecer cual es mayor y cual es menor. El número mayor se encuentra más a la derecha y el menor se encuentra a la izquierda.

En el diagrama de arriba, podemos ver que 2 se encuentra más a la derecha en la recta que –5. Podemos usar el símbolo > para representar “mayor que”.

Por lo tanto, $2 > -5$ .

Número y Sus Opuestos

Cada número real, incluidos los enteros, tienen un opuesto, este representa la misma distancia del cero pero en la otra dirección.

Se genera una situación especial si sumamos un número con su opuesto. La suma es cero. Esto se resume en la siguiente propiedad.

La Propiedad del Inverso Aditivo: Para cualquier número real $a, \ a + (- a) = 0$ .

Podemos ver que $-a$ es el inverso aditivo, u opuesto, de $a$ .

Ejemplo B

Encuentra el número opuesto de los siguientes números. Usa la Propiedad del Inverso Aditivo para representar los opuestos.

a.) -5

b.) 1/2

c.) 5.1

Soluciones:

a.) El opuesto de -5 es 5. Con la Propiedad del Inverso Aditivo obtenemos: $-5 + (5)=0$ .

b.) El opuesto de 1/2 es -1/2. Con la Propiedad del Inverso Aditivo podemos comprobar que estos son opuestos: $\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)=0$ .

c.) El opuesto de 5,1 es -5,1. Usa la Propiedad del Inverso Aditivo y obtienes: $5.1 + (-5.1)=0$ .

Valor Absoluto

El valor absoluto representa la distancia desde el cero al graficar un punto en una recta numérica. Por ejemplo, el número 7 está a 7 unidades del cero. El número –7 también está a 7 unidades del cero. El valor absoluto de un número es la distancia a la que se encuentra del cero, así el valor absoluto de 7 y el valor absoluto de -7 es, en ambos casos, 7. Un número y su inverso aditivo se encuentran a la misma distancia del cero, por lo que sus valores absolutos son los mismos.

Podemos escribir el valor absoluto de -7 de la siguiente manera: $|-7|$ .

Podemos leer la expresión $|x|$ como “el valor absoluto de $x$ .”

Considera las expresiones de valores absolutos como paréntesis. Si hay una operación dentro del símbolo de valor absoluto, debes evaluar esa operación primero.
El valor absoluto de un número o una expresión siempre es positivo o cero. No puede ser negativo. El valor absoluto solo representa la distancia desde el cero, no la dirección.

Ejemplo C

Evalúa las siguientes expresiones de valores absolutos.

a) $|5 + 4|$

b) $3 - |4 - 9|$

c) $|-5 - 11|$

d) $-|7-22|$

Solución:

a) $|5 + 4| &= |9|\\\&= 9$

b) $3 - |4 - 9| &= 3 - |-5|\\\&= 3 - 5\\\&= -2$

c) $|-5-11|&=|-16|\\\&= 16$

d) $-|7 - 22| &= -|-15|\\\&= -(15)\\\&= -15$

Video de Repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

1. ¿Cuál es el opuesto de $x-1$ ?

2. Evalúa las siguientes expresiones:

a.) $|3-4|-2$

b.) $|5-7.5|+3$

Soluciones:

1. El opuesto de $x-1$ es $-(x-1)$ . Podemos usar la Propiedad del Inverso Aditivo para comprobar:

Ya que $-(x-1)=-x-1$ ,

$(x-1)+(-(x-1))=(x-1)+(-x-1)=0$ .

2a.) $|3-4|-2=|-1|-2=1-2=-1$

2b.) $|5-7.5|+3=|-2.5|+3=2.5+3=5.5$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Integers and Rational Numbers (13:00)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Define valor absoluto.
Escribe un ejemplo de un número real que no sea un entero.
Las líneas cortas de la recta numérica representan enteros separados por la misma distancia. Encuentra los valores de $a, b, c, d,$ y $e$ .

Del 4 al 9, encuentra el opuesto de cada número o expresión.

1.001
–9.345
(16 – 45)
(5 – 11)
$(x + y)$
$(x - y)$

Del 10 al 19, simplifica.

$|-98.4|$
$|123.567|$
$-|16-98|$
$11 - |-4|$
$|4 - 9|-|-5|$
$|-5-11|$
$7-|22-15-19|$
$-|-7|$
$|-2-88| - |88 + 2|$
$|-5-99| + -|16-7|$

Del 20 al 25, compara los números reales.

8 y 7.99999
–4.25 y $\frac{-17}{4}$
65 y –1
10 unidades a la izquierda del cero y 9 unidades a la derecha del cero
Una rana está sentada sobre el número 7 en una recta numérica. La rana salta al azar de izquierda a derecha, pero siempre salta una distancia exacta de 2 unidades. Describe el conjunto de números en los que la rana puede caer y haz una lista con todas las posibles posiciones de la rana luego de saltar exactamente 5 veces.
¿Todos los números reales tienen un inverso aditivo? Justifica tu respuesta.

Prev Next