Adición de Números Racionales

En esta Sección aprenderás a sumar fracciones (también conocidas como números racionales), incluso si alguna fracción es impropia o si las fracciones tienen denominadores distintos.

Supón que bebes $\frac{7}{8}$ de una botella de jugo el día lunes, $\frac{2}{5}$ el día jueves; y $\frac{3}{2}$ el día miércoles. ¿Puedes identificar que fracciones son impropias? ¿Puedes escribir fracciones con un denominador común? ¿Puedes sumar estas fracciones? Al terminar esta Sección, podrás realizar todas estas operaciones y encontrar cuantas botellas de jugo tomaste en total en un transcurso de tres días.

Orientación

Adición de Números Racionales

Para sumar números racionales, debemos recordar como reescribir números mixtos como fracciones impropias. Comienza por multiplicar el denominador del número mixto con el entero. Suma el numerador al producto. El valor resultante, es el numerador de la fracción impropia. El denominador es el mismo.

Ejemplo A

Escribe $11 \frac{2}{3}$ como una fracción impropia:

Solución: $3 \times 11 = 33 + 2 = 35$ . Este es el numerador de la fracción impropia.

$11 \frac{2}{3} = \frac{35}{3}$

Ahora que ya sabemos cómo reescribir números mixtos como una fracción impropia, podemos sumar números racionales. Al momento de sumar o restar números racionales debes tener en cuenta que los denominadores deben ser equivalente.

Propiedad de Suma de las Fracciones: Para todos los números reales $a, \ b,$ y $c, \ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}.$

Ejemplo B

Suma los siguientes conjuntos de fracciones (números racionales):

a.) $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$

b.) $4\frac{1}{7}+\frac{2}{7}$

Soluciones:

a.) Ya que los denominadores son iguales, podemos sumarlos sin problema.

$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{1+2}{3}=\frac{3}{3}=1$

b.) $4\frac{1}{7}$ es una fracción mixta, se lee como "4 y un séptimo”. Esto se puede ver cómo $4+\frac{1}{7}$ . Ya que el denominador de la otra fracción es 7 podemos sumar ambas fracciones:

$4\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=4+\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=4+\frac{1+2}{7}=4+\frac{3}{7}=4\frac{3}{7}.$

Esta fracción mixta puede transformarse en una fracción impropia:

$4\times 7=28$

$\frac{28+3}{7}=\frac{31}{7}$

Propiedades Algebraicas de la Suma

Ya que estas propiedades se aplican a todos los números reales, también se aplican a fracciones o números racionales. Revisemos las propiedades:

Propiedad Conmutativa de la Suma: Para todos los números reales $a$ ,y $b$ , $a + b = b + a$ .

Conmutar implica cambiar de lugar, así la Propiedad Conmutativa de la Suma nos permite reorganizar los elementos en un problema de adición.

Propiedad Asociativa de la Suma: Para todos los números reales $a, \ b,$ y $c$ , $(a + b)+ c = a + (b + c).$

Asociar implica juntar, así la Propiedad Asociativa de la Suma nos permite agrupar los elementos en un problema de adición.

Propiedad de Identidad de la Suma: Para cualquier número real $a, \ a + 0 = a.$

Otra manera de representar un número racional es como número decimal; por ejemplo, 2,5 o 30,01 o 2,9999. A continuación practicaremos algunas de las propiedades mencionadas con número raciones en sus distintas formas.

Ejemplo C

Para asegurarnos que las propiedades algebraicas son ciertas, en este ejercicio revisaremos si las siguientes ecuaciones son iguales:

a.) Propiedad Conmutativa: $2.5 + 3.5 =3.5 + 2.5$

b.) Propiedad Asociativa: $\frac{1}{9}+\left(\frac{2}{9}+\frac{5}{9}\right)=\left(\frac{1}{9}+\frac{2}{9}\right)+\frac{5}{9}$

Soluciones:

a.) Revisaremos cada lado por separado para confirmar si son iguales.

$2.5 + 3.5 =6$

$3.5 + 2.5=6$

Podemos concluir que la ecuación es cierta.

b.) Para este también revisaremos cada lado de la ecuación por separado.

$\frac{1}{9}+\left(\frac{2}{9}+\frac{5}{9}\right)=\frac{1}{9}+\frac{7}{9}=\frac{8}{9}$

$\left(\frac{1}{9}+\frac{2}{9}\right)+\frac{5}{9}=\frac{3}{9}+\frac{5}{9}=\frac{8}{9}$

Podemos concluir que la ecuación es cierta.

Denominadores Comunes

Para sumar dos fracciones, debemos tener un denominador común. Esto quiere decir que deben tener el mismo número en el denominador. Si se están sumando dos fracciones sin denominadores comunes, debes modificar una o ambas fracciones para que tengan el mismo denominador. En general, cuando dos fracciones tienen denominadores distintos, se usa el siguiente patrón.

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{d}+\frac{c}{d}\cdot \frac{b}{b}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$

Para entender cómo funciona este patrón, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo D

Encuentra el denominador común para las siguientes fracciones y luego suma.

f
$\frac{1}{5}+\frac{3}{10}$

Soluciones:

1. Sigue el patrón. Multiplica el numerador y denominador de cada fracción por el denominador de la otra fracción:

$\frac{2}{11}+\frac{1}{3}=\frac{2}{11}\cdot \frac{3}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{11}{11}=\frac{6}{33}+\frac{11}{33}=\frac{6+11}{33}=\frac{17}{33}$

2. En este ejemplo, el denominador 10 es múltiplo del otro denominador 5. No es necesario cambiar la fracción con el denominador 10. Solo multiplica el numerador y el denominador de la primera fracción para que sea 10:

$\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{5}\cdot \frac{2}{2}+\frac{3}{10}=\frac{2}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2+3}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Guiada

Suma el siguiente número racional y escribe tu respuesta como fracción mixta.

$5\frac{1}{3}+2\frac{3}{4}$ .

Solución:

Podemos separar las fracciones mixtas:

$5\frac{1}{3}+2\frac{3}{4}=5+\frac{1}{3}+2+\frac{3}{4}.$

Con la Propiedad Conmutativa podemos reordenar y simplificar al agregar enteros:

$5+\frac{1}{3}+2+\frac{3}{4}=5+2+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=7+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}.$

Ahora solo debemos sumar las fracciones. Debido a que no hay denominadores comunes, tenemos que establecer un denominador común. Los denominadores no comparten ningún factor común, por lo que debemos multiplicarlos entre sí:

$\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=\frac{1\times 4}{3\times 4}+\frac{3\times 3}{4\times 3}=\frac{4}{12}+\frac{9}{12}=\frac{4+9}{12}=\frac{13}{12}.$

Luego debemos sumar las fracciones:

$7+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=7+\frac{13}{12}.$

La respuesta tiene que ser una fracción mixta, así que debemos transformar la fracción impropia en una fracción mixta. Ya que 12 cabe una vez en 13 y sobra 1, obtenemos:

$7+\frac{13}{12}=7+1\frac{1}{12}=8\frac{1}{12}.$

La respuesta es:

$5\frac{1}{3}+2\frac{3}{4}=8\frac{1}{12}.$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Addition of Rational Numbers (7:40)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Suma las siguientes expresiones. Escribe la respuesta en su forma más simple.

$\frac{3}{7} + \frac{2}{7}$
$\frac{3}{10} + \frac{1}{5}$
$\frac{5}{16} + \frac{5}{12}$
$\frac{3}{8} + \frac{9}{16}$
$\frac{8}{25} + \frac{7}{10}$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{4}$
$\frac{7}{15} + \frac{2}{9}$
$\frac{5}{19} + \frac{2}{27}$
$-2.6 + 11.19$
$-8 + 13$
$-7.1 + (-5.63)$
$9.99 + (-0.01)$
$4 \frac{7}{8} + 1\frac{1}{2}$
$-3 \frac{1}{3} + \left (-2 \frac{3}{4} \right )$

Del 15 al 17, ¿qué propiedad de la suma implica cada situación?

Sin importar el orden en que pasen tus compras por el cajero, el costo total será el mismo.
Supón que compras un DVD por $8, otro por $29,99 y un tercero por $14,99. Puedes sumar $(8 + 29.99) + 14.99$ Puedes sumar $8 + (29.99 + 14.99)$ para obtener el total.
Nadia, Peter e Ian están juntando su dinero para comprar un galón de helado. Nadia es la mayor y obtiene una mesada más grande. Por lo que contribuye con la mitad del costo. Ian es el hijo del medio y contribuye con un tercio del costo. Peter, el más joven, obtiene una mesada pequeña y contribuye con un cuarto del costo. Los tres hermanos creen que será suficiente dinero para comprar el helado. Cuando van a pagar, notan que olvidaron calcular el impuesto y les preocupa no tener suficiente dinero. Para su sorpresa, tienen exactamente la cantidad necesaria de dinero. ¿Qué fracción del costo del helado fue agregado como impuesto?

Del 18 al 24, evalúa cada expresión, si $v = 5.8.$

$9.1 + v$
$v+(-v)$
$-v+4.12$
$-23.14+ -v$
$7.86+(-v)$
$-v+3.5$
$-v+v$

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