Números Mixtos

En esta Sección multiplicaras números mixtos y fracciones para resolver problemas de multiplicación en situaciones cotidianas.

Supón que patinas un promedio de $15 \frac{1}{2}$ millas por hora. Si patinas durante $\frac{3}{5}$ de una hora, ¿Cuántas millas recorrerías? En esta Sección, aprenderás a multiplicar números mixtos y fracciones, así podrás responder preguntas como estas.

Orientación

Harás galletas para una fiesta. La receta que ocuparás rinde 6 docenas de galletas, pero solo necesitas 2 docenas. ¿Cómo puedes reducir la receta?

En este caso, no debes restar para encontrar los valores. La resta implica quitar para disminuir un valor. No has hecho ninguna galleta aún; por lo tanto, no puedes quitar ninguna. En cambio, necesitas hacer $\frac{2}{6}$ o $\frac{1}{3}$ de la receta original. Este proceso implica multiplicar fracciones.

Para todos los números reales $a, b, c,$ y $d$ , donde $\ b \neq 0$ y $\ d \neq 0$ :

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Ejemplo A

La receta original necesita 8 tazas de harina. ¿Cuántas tazas necesitas para la receta reducida?

Solución: Comienza por escribir la multiplicación. $8 \cdot \frac{1}{3}$ . Debes reescribir este producto en la forma establecida por la propiedad. Para realizar esta multiplicación, debes rescribir 8 como fracción $\frac{8}{1}$ .

$8 \times \frac{1}{3} = \frac{8}{1} \times \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 1}{1 \cdot 3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$

Necesitaras $2 \ \frac{2}{3}$ tazas de harina.

Propiedades de Multiplicación

Las propiedades Asociativa y Conmutativa de la suma también se aplican a la multiplicación. Estas se resumen a continuación.

Propiedad Asociativa de la Multiplicación: Para todos los números reales $a, \ b,$ y $c,$

$(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: Para todos los números reales $a$ y $b,$

$a(b) = b(a)$

Regla de Multiplicación de Igual Signo: El producto de dos números positivos o dos números negativos es positivo.

Regla de Multiplicación de Diferente Signo: El producto de un número positivo y un número negativo es negativo.

Ejemplo B

Ayinde está haciendo una casa para perro de $3\frac{1}{2}$ pies de largo y $2\frac{2}{3}$ pies de ancho. ¿Cuál será el área de la casa en pies cuadrados?

Solución:

Debido a que la fórmula para calcular el área es

$area=length \times width$ ,

reemplazamos los valores de largo y ancho:

$area=3\frac{1}{2} \times 2\frac{2}{3} .$

Primero debemos transformas las fracciones mixtas en fracciones impropias:

$area=3\frac{1}{2} \times 2\frac{2}{3} =\frac{7}{2} \times \frac{8}{3}= \frac{7\times 8}{2\times 3} = \frac{56}{6}.$

Ahora, transformamos la fracción impropia nuevamente a una fracción mixta. Ya que 56 dividido en 6 es 9 con un resto de 2, obtenemos:

$\frac{56}{6}=9\frac{2}{6}=9\frac{1}{3}$

El área de la casa de perro es de $9\frac{1}{3}$ pies cuadrados.

Nota: La unidad del área es pie cuadrado, o pie al cuadrado, porque multiplicamos dos números cada uno con unidades de pie:

$feet \times feet=feet^2$ ,

lo cual llamamos pie cuadrado.

Ejemplo C

El camión de Doris rinde $10 \frac{2}{3}$ por galón. Su estanque está vacío, así que llena $5 \frac{1}{2}$ del estanque con gasolina.

¿Cuántas millas podrá recorrer?

Solución: Comienza por escribir cada número mixto como una fracción impropia.

$10 \frac{2}{3} = \frac{32}{3} && 5 \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$

Ahora multiplica las fracciones.

$\frac{32}{3} \cdot \frac{11}{2} = \frac{352}{6} = 58\frac{4}{6} = 58\frac{2}{3}$

Doris puede recorrer $58 \ \frac{2}{3}$ millas con 5,5 galones de gasolina.

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Guiada

Anne tiene una barra de chocolate y le ofrece un trozo a Bill. Bill saca $\frac{1}{4}$ de la barra y se la come. Una amiga, Cindy, saca $\frac{1}{3}$ de la barra de chocolate restante. Anne divide el resto de la barra de chocolate en dos partes iguales, las que comparte con otra amiga, Dora. ¿Qué tanto chocolate comió cada persona?

Solución: Considera la barra de cómo un entero.

$1- \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ . Esta es la cantidad de chocolate restante luego de que Bill sacara un trozo.

$\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ . Esta es la fracción que Cindy recibió.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Esta es la cantidad de chocolate restante luego de que Cindy recibiera un trozo.

Anne divide el resto del chocolate en dos partes iguales. Cada persona recibió $\frac{1}{4}$ de la barra de chocolate.

Práctica

Multiplica los siguientes números racionales.

$\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}$
$\frac{15}{11} \times \frac{9}{7}$
$\frac{2}{7} \cdot -3.5$
$\frac{1}{13} \times \frac{1}{11}$
$\frac{7}{27} \times \frac{9}{14}$
$\left (\frac{3}{5} \right )^2$
$\frac{1}{11} \times \frac{22}{21} \times \frac{7}{10}$
$5.75 \cdot 0$

Del 9 al 11, escribe la propiedad que se aplica a cada una de las siguientes situaciones.

Un jardinero esta plantando vegetales para la siguiente temporada. Quiere plantar papas. Tiene dos opciones, plantar en un solo terrero de 8 por 7 metros o en dos terrenos de 3 por 7 metros y 5 por 7 metros. ¿Qué opción de la una mayor área para plantar papas?
Andrew está contando su dinero y lo ordena en montones de $10. Si tiene un montón. ¿Cuánto dinero tiene Andrew?
Nadie y Peter están recaudando dinero con un lavado de autos. Nadia cobra $3 por auto. Durante la mañana lavó 5 autos. Peter cobra $5 por auto (incluido el encerado). Durante la mañana, lavó y enceró tres autos. ¿Quién recaudó más dinero?

Teo está haciendo una caja para plantar flores de 5 pulgadas y media por 15 pulgadas y media. ¿Cuántas pulgadas cuadradas tendrá para plantar?

Ejercicios Mixtos

Compara estos números racionales: $\frac{16}{27}$ y $\frac{2}{3}$ .
Define números racionales.
Escribe un ejemplo de una fracción propia. ¿En qué diferencia de una fracción impropia?
¿Qué propiedad se está usando? $16 - (-14) = 16 + 14 = 30$
Simplifica $11 \frac{1}{2} + \frac{2}{9}$ .

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