Expresiones y la Propiedad Distributiva

En esta Sección aprenderás a simplificar una expresión en la forma $M(N+K)$ o $M(N-K)$ usando la Propiedad Distributiva.

Supón que un papel de regalo tiene un largo de 5 pies y un ancho de $x$ pies. Al envolver un regalo, cortas un trozo vertical de 1 pie, de manera que el ancho del papel de regalo disminuye en 1 pie. ¿Cuál es el área del papel de regalo restante? ¿Puedes escribir esta expresión en su forma simplificada? En esta Sección, aprenderás a usar la Propiedad Distributiva para simplificar expresiones como la anterior.

Orientación

Al final del año escolar, un profesor de escuela básica hace pequeñas bolsas de regalo para cada uno de sus alumnos. Cada bolsa tiene una foto de la clase, dos adornos pequeños y cinco dulces. El profesor tiene 28 alumnos. ¿Cuántas unidades de cada cosa necesita?

Ejemplo A

Puedes comenzar por establecer las variables.

$p=photograph, \ f=favors,$ y $c=candy.$

Luego escribe una expresión que represente la situación: $p + 2f + 5c.$

Hay 28 alumnos en la clase, así que el profesor debe hacer 28 bolsas. Una forma sencilla de escribir esto es $28 \cdot (p + 2f + 5c).$

Podemos omitir el símbolo de multiplicación y escribirlo como $28(p + 2f + 5c)$ .

Por lo tanto, el profesor necesita $28p + 28(2f) + 28(5c)$ o $28p + 56f + 140c.$

El profesor necesita 28 fotos, 56 regalos y 140 dulces para completar las bolsas de regalo de fin de año.

Al multiplicar una expresión algebraica por otra expresión, se aplica la Propiedad Distributiva.

Propiedad Distributiva: Para todos los números reales $M, \ N,$ y $K$ :

$& M(N+K)= MN+MK\\\& M(N-K)= MN-MK$

Ejemplo B

Determina el valor de $11(2 + 6)$ usando el Orden de Operaciones y la Propiedad Distributiva.

Solución: Orden de operaciones: $11(2 + 6) = 11(8)= 88.$

Propiedad Distributiva: $11(2 + 6) = 11(2) + 11(6)= 22 + 66 = 88.$

Sin importar el método, la respuesta es la misma.

Ejemplo C

Simplifica $7(3x - 5).$

Solution 1: Imagina la expresión como siete grupos de $(3x -5)$ . Podrías escribir esta expresión siete veces y sumar los términos similares.

$(3x-5)+(3x-5)+(3x-5)+(3x-5)+(3x-5)+(3x-5)+(3x-5)=21x-35$

Solución 2: Aplica la Propiedad Distributiva.

$7(3x-5)= 7(3x)+7(-5)= 21x-35$

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Guiada

Simplifica $\frac{2}{7} (3y^2 - 11).$

Solución: Aplica la Propiedad Distributiva.

$&\frac{2}{7} (3y^2 + -11)= \frac{2}{7} (3y^2) + \frac{2}{7}(-11)=\\\&\frac{2}{7} \frac{(3y^2)}{1} + \frac{2}{7}\frac{(-11)}{1}=\frac{2 \times 3y^2}{7 \times 1} + \frac{2\times (-11)}{7\times 1}=\\\&\frac{6y^2}{7}+\frac{-22}{7}=\frac{6y^2}{7}-\frac{22}{7}$

Práctica

Usa la Propiedad Distributiva para simplificar las siguientes expresiones.

$(x + 4) - 2(x + 5)$
$\frac{1}{2}(4z + 6)$
$(4 + 5)-(5 + 2)$
$(x + 2 + 7)$
$0.25 (6q + 32)$
$y(x + 7)$
$-4.2(h - 11)$
$13x(3y + z)$
$\frac{1}{2}(x - y) - 4$
$0.6(0.2x + 0.7)$
$(2 - j)(-6)$
$4(m + 7) -6(4 - m)$
$-5(y - 11) + 2y$

Ejercicios Mixtos

Transforma el siguiente problema en una inecuación: Jacob quiere ir a Chicago para el viaje de fin de año. Debe tener al menos $244 para el autobús, el hotel y gastos diarios. Ya tiene $104. ¿Cuánto dinero más necesita para pagar su viaje?
Subraya el verbo(s) matemático en esta oración: 6 veces un número es 4 menos que 16.
Haz un dibujo que represente $3 \frac{3}{4}$ .
Determina el cambio en $y$ en la ecuación $y = \frac{1}{6} x-4$ entre $x=3$ y $x=9$ .

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