División de Números Racionales

En esta sección aprenderás a usar recíprocos para dividir un número por una fracción, también conocida como número racional.

Supón que una caja de cereal tiene $\frac{4}{5}$ de contenido y quieres dividir el resto de cereal de manera que cada porción equivalga a $\frac{1}{5}$ de la caja llena. En este caso, debes dividir una fracción por una fracción para descifrar el número de porciones que puedes servir. Luego de terminar esta Sección, serás capaz de usar recíprocos para realizar problemas de división como este.

Orientación

División de Números Racionales

Anteriormente, hemos sumado, restado y multiplicado números racionales. Es lógico que ahora aprendamos a dividir números racionales. Comenzaremos con la definición de operaciones inversas.

Las operaciones inversas “se anulan” entre sí.

Por ejemplo, la suma y la resta son operaciones inversas porque la suma cancela la resta y viceversa. La identidad aditiva resulta en una suma de cero. De la misma manera, la multiplicación y la división son operaciones inversas. Esto nos lleva a la siguiente propiedad:

Propiedad Inversa de la Multiplicación: Para cada número $a$ , distinto de cero existe un inverso multiplicativo $\frac{1}{a}$ de manera que $a \left ( \frac{1}{a} \right ) = 1$ .

Esto quiere decir que el inverso multiplicativo de $a$ es $\frac{1}{a}$ . El valor de $a$ y $\frac{1}{a}$ se llaman recíprocos. En general, dos números distintos de cero cuyo producto es 1 son inversos multiplicativos o recíprocos.

Recíprocos: El recíproco de un número racional distinto de cero $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$ .

Nota: El número cero no tiene un recíproco.

Usar Recíprocos para Dividir Números Racionales

Al dividir números racionales, usamos la siguiente regla:

“Al dividir números racionales, debes multiplicar por el recíproco ‘derecho’”.

En este caso, el recíproco "derecho" significa tomar el recíproco de la fracción del lado derecho de la división.

Ejemplo A

Simplifica $\frac{2}{9} \div \frac{3}{7}$ .

Solución:

Comienza por multiplicar por el recíproco “derecho”.

$\frac{2}{9} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{27}$

Ejemplo B

Simplifica $\frac{7}{3} \div \frac{2}{3}$ .

Solución:

Comienza por multiplicar por el recíproco “derecho”.

$\frac{7}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{7 \cdot 3} {2 \cdot 3} = \frac{7}{2}$

En vez de un símbolo de división $\div$ , puedes usar una barra de división más larga. Esto se puede ser en el siguiente ejemplo.

Ejemplo C

Simplifica $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{7}{8}}$ .

Solución:

La barra de fracción que separa las fracciones $\frac{2}{3}$ y $\frac{7}{8}$ indica división.

$\frac{2}{3} \div \frac{7}{8}$

Simplifica:

$\frac{2}{3} \times \frac{8}{7} = \frac{16}{21}$

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Guiada

1. Encuentra en inverso multiplicativo de $\frac{5}{7}$ .

2. Simplifica $5\div \frac{3}{2}$ .

Soluciones:

1. El inverso multiplicativo de $\frac{5}{7}$ es $\frac{7}{5}.$ Al multiplicarlos obtenemos:

$\frac{5}{7}\times \frac{7}{5}= \frac{5\times 7}{7\times 5}=\frac{35}{35}=1.$

2. Cuando nos piden dividir por una fracción, podemos reescribir el problema al multiplicarlo por su recíproco.

$5\div \frac{3}{2}=5 \times \frac{2}{3}=\frac{5\times 2}{3}=\frac{10}{3}$

Práctica

Define inverso.
¿Qué es un inverso multiplicativo? ¿En qué se diferencia del inverso aditivo?

Del 3 al 11, encuentra en inverso multiplicativo de cada expresión.

100
$\frac{2}{8}$
$-\frac{19}{21}$
7
$- \frac{z^3}{2xy^2}$
0
$\frac{1}{3}$
$\frac{-19}{18}$
$\frac{3xy}{8z}$

Del 12 al 20, divide los números racionales. Asegúrate de responder de la manera más simple.

$\frac{5}{2} \div \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} \div \frac{7}{9}$
$\frac{5}{11} \div \frac{6}{7}$
$\frac{1}{2} \div \frac{1}{2}$
$- \frac{x}{2} \div \frac{5}{7}$
$\frac{1}{2} \div \frac{x}{4y}$
$\left ( - \frac{1}{3} \right ) \div \left ( - \frac{3}{5} \right )$
$\frac{7}{2} \div \frac{7}{4}$
$11 \div \left ( - \frac{x}{4} \right )$

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