Raíces Cuadradas y Números Irracionales

En esta Sección aprenderás a decidir si un número es racional o irracional y a calcular la raíz cuadrada de un número.

Supón que una escuela básica tiene un patio cuadrado con un área de 3000 pies cuadrados. ¿Puedes encontrar ancho del patio? ¿El ancho del patio será un número racional o irracional? En esta Sección, aprenderás a calcular la raíz cuadrada de un número y decidir si el resultado es racional o irracional de manera que puedas responder preguntas como estas.

Orientación

El ajedrez humano es una variante del ajedrez, suele jugarse en Ferias Renacentistas, en la que las personas interpretan los papeles de las piezas de ajedrez en un tablero. El tablero de ajedrez se recrea en un terreno cuadrado que mide 324 metros cuadrados con los cuadros del tablero marcados en el pasto. ¿Cuánto mide cada lado del tablero?

Para responder esta pregunta, debes saber cómo encontrar la raíz cuadrada de un número.

La raíz cuadrada de un número $n$ es cualquier número $s$ de manera que $s^2 = n$ .

Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa. El símbolo usado para representar la raíz cuadrada es $\sqrt{x}$ . Este símbolo representa la raíz cuadrada positiva de $x$ . Para representar los valores positivos y negativos, puedes usar el símbolo $\pm$ , que se lee “más o menos”.

Por ejemplo:

$\sqrt{81}=9$ Significa la raíz cuadrada positiva de 81.

$-\sqrt{81}= -9$ Significa la raíz cuadrada negativa de 81.

$\pm \sqrt{81} = \pm 9$ Significa la raíz cuadrada positiva de 81.

Ejemplo A

El tablero de ajedrez humano mide 324 metros cuadrados. ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?

Solución: El área de un cuadrado es $s^2 = Area$ .

$s^2=324$

El valor de $s$ representa la raíz cuadrada de 324.

$s= \sqrt{324}=18$

El tablero de ajedrez mide 18 metros de largo por 18 metros de ancho.

Aproximar Raíces Cuadradas

Cuando la raíz cuadrada de un número es un entero, este número se llama cuadrado perfecto. 9 es un cuadrado perfecto porque $\sqrt{9}=3$ .

No todas las raíces cuadradas son números enteros. Muchas son números irracionales, es decir, no existe un número racional que sea equivalente. Por ejemplo, 2 es la raíz cuadrada de 4 porque $2 \times 2 = 4$ . El número 7 es la raíz cuadrada de 49 porque $7 \times 7 = 49$ . ¿Cuál es la raíz cuadrada de 5?

Ningún número entero multiplicado por sí mismo es igual a cinco, así que $\sqrt{5}$ no es un número entero. Podemos estimar para encontrar el valor de $\sqrt{5}$ .

Para estimar la raíz cuadrada de un número, busca enteros perfectos menores que y mayores que el valor y luego estima un decimal.

Ejemplo B

Estima $\sqrt{5}$ .

Solución: El cuadrado perfecto menor que 5 es 4 y el cuadrado perfecto mayor que 5 es 9. Por lo tanto, $4<5<9$ . Así, $\sqrt{5}$ se encuentre entre $\sqrt{4}$ y $\sqrt{9}$ , o $2< \sqrt{5}<3$ . Debido a que 5 está más cerca del 4 que del 9, el valor del decimal es bajo: $\sqrt{5} \approx 2.2$ .

Identificar Números Irracionales

Recuerda la jerarquía de números de la Sección anterior. Los números reales se dividen en dos grandes categorías: racionales e irracionales. Si un valor no es un cuadrado perfecto, entonces es considerado un número irracional. Estos números no pueden ser escritos como una fracción, ya que el decimal no tiene fin (infinitos) y no tienen un patrón (no periódico) . A pesar de que las raíces cuadradas irracionales pueden ser escritas como fracciones, también podemos escribirlas exactas , sin usar una calculadora.

Por ejemplo, supón que no tienes una calculadora y necesitas encontrar $\sqrt{18}$ . Sabes que ningún número entero al cuadrado es igual a 18, por lo que $\sqrt{18}$ Sabes que ningún número entero al cuadrado es igual a 18, por lo que $\sqrt{16}=4$ y $\sqrt{25}=5$ . Sin embargo, debemos encontrar el valor exacto de $\sqrt{18}$ .

Comienza por escribir la factorización primaria de $\sqrt{18}$ . $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2}= \sqrt{9} \times \sqrt{2}$ . $\sqrt{9} = 3$ pero $\sqrt{2}$ no es un valor entero. Por lo tanto, el valor exacto de $\sqrt{18}$ es $3 \sqrt{2}$ .

Puedes verificar tu respuesta con una calculadora y encontrar la aproximación en decimales de cada raíz cuadrada.

Ejemplo C

Encuentra el valor de exacto de $\sqrt{75}$ .

Solución:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

Video de Repaso

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Práctica Guiada

El área de un cuadrado es 50 pies cuadrados. ¿Cuál es el largo de sus lados?

Solución:

Sabemos que la fórmula para calcular el área de un cuadrado es $a=s^2.$ Usa la fórmula y obtienes:

$& a=s^2\\\&50=s^2\\\&\sqrt{50}=\sqrt{s^2}\\\&\sqrt{50}=s$

Ahora, simplifica:

$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}.$

El largo de cada lado del cuadrado es $5\sqrt{2}$ pies.

Práctica

Encuentra las siguientes raíces cuadradas exactas sin usar calculadora . Escribe tu respuesta en la forma más simple.

$\sqrt{25}$
$\sqrt{24}$
$\sqrt{20}$
$\sqrt{200}$
$\sqrt{2000}$
$\sqrt{\frac{1}{4}}$
$\sqrt{\frac{9}{4}}$
$\sqrt{0.16}$
$\sqrt{0.1}$
$\sqrt{0.01}$

Usa una calculadora para encontrar las siguientes raíces cuadradas.

$\sqrt{13}$
$\sqrt{99}$
$\sqrt{123}$
$\sqrt{2}$
$\sqrt{2000}$
$\sqrt{0.25}$
$\sqrt{1.35}$
$\sqrt{0.37}$
$\sqrt{0.7}$
$\sqrt{0.01}$

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