Orden de Números Reales

En esta Sección aprenderás a decidir si un número es natural, entero, racional, irracional o real. Además, aprenderás a ordenar números y graficarlos en una recta numérica.

Supón que tres amigos y tú están jugando un juego en el que sacan un número de un sombrero y la persona con el número más alto gana. Digamos que sacaste el número $\frac{3}{2}$ , y tus amigos sacaron los números $\sqrt{3}$ , 1.7, y $\frac{\pi}{3}$ , respectivamente. ¿Puedes descifrar quién ganó el juego? En esta Sección, aprenderás a clasificar, ordenar y graficar números reales, de manera que puedas comparar valores como estos.

Orientación

Clasifica Números Reales

Ejemplo A

Con el esquema de arriba, clasifica los siguientes números:

a) 0

b) –1

c) $\frac{\pi}{3}$

d) $\frac{\sqrt{36}}{9}$

Soluciones:

a) El cero es un número natural, entero, racional y real.

b) El -1 es un número entero, racional y real.

c) $\frac{\pi}{3}$ es un número irracional y real.

d) $\frac{\sqrt{36}}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Este es un número racional y real.

Graficar y Ordenar Números Reales

Todo número real puede ser posicionado entre dos enteros. En muchos casos tendrás que organizar números reales para determinar el valor más pequeño o más grande o ambos. Eso se suele hacer con una recta numérica.

Ejemplo B

Dibuja los siguientes números racionales en una recta numérica.

a) $\frac{2}{3}$

b) $-\frac{3}{7}$

c) $\frac{57}{16}$

Soluciones:

a) $\frac{2}{3} = 0.\overline{6}$ , el que se ubica entre 0 y 1.

b) $-\frac{3}{7}$ se ubica entre –1 y 0.

c) $\frac{57}{16} = 3.5625$

Ejemplo C

Compara $\frac{\pi}{15}$ y $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75}}.$

Solución:

Primero simplifica para comparar mejor.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75}}=\frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{5}.$

Ahora reescribe $\frac{\pi}{15}$ para compararlo con $\frac{1}{5}:$

$\frac{\pi}{15}=\frac{\pi}{3\times 5}=\frac{\pi}{3}\times \frac{1}{5}.$

Ya que $\pi >3$ ,

$\frac{\pi}{3}>1$

así

$\frac{\pi}{3}\times \frac{1}{5}> \frac{1}{5}.$

Por lo tanto, $\frac{\pi}{15}> \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75}}.$

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Para los números: $\frac{\sqrt{12}}{2}, 1.5\cdot \sqrt{3}, \frac{3}{2}, \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{20}}$

1. Clasifica cada número.

2. Ordena los números.

Soluciones:

1. Necesitamos simplificar los números para clasificarlos:

$\frac{\sqrt{12}}{2}=\frac{\sqrt{4\times 3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$ Este es un número irracional. Un número irracional es un tipo de número real.

$1.5\cdot \sqrt{3}.$ Este número no puede simplificarse, pero debido a que es múltiplo de un número irracional, también es un número irracional. En otras palabras, no podemos eliminar la parte irracional, por lo que no podemos escribirlo como un número racional. También es un número real.

$\frac{3}{2}.$ Ya que este número se encuentra en forma de fracción, también es número racional y real.

$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{4\times 5}}=\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=1.$ Este número puede simplificarse a un entero. Todos los enteros son un tipo especial de números reales y pueden expresarse como números racionales.

2. Los cuatro números se ordenan de la siguiente manera: $1<\frac{3}{2}<\sqrt{3} <1.5\cdot \sqrt{3}.$

$1<\frac{3}{2}$ ya que el numerador es más grande que el denominador y $\frac{3}{2}=1.5$ .

$\frac{3}{2}<\sqrt{3}$ ya que podemos comprobar en una calculadora que $\sqrt{3}\approx 1.7$

$\sqrt{3} < 1.5\cdot \sqrt{3}$ ya que cualquier número aumenta al multiplicarlo por 1,5.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Square Roots and Real Numbers (10:18)

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*Este video solo se encuentra disponible

Clasifica los siguientes números. Enlista todas las categorías que se apliquen a los números.

$\sqrt{0.25}$
$\sqrt{1.35}$
$\sqrt{20}$
$\sqrt{25}$
$\sqrt{100}$
Ordena los siguientes números de menor a mayor. $\frac{\sqrt{6}}{2} && \frac{61}{50} && \sqrt{1.5} && \frac{16}{13}$
Encuentra el valor de cada punto.

Ejercicios Mixtos

Simplifica $\frac{9}{4}\div 6$ .
El área de un triángulo se calcula con la fórmula $A= \frac{b(h)}{2}$ , en la que $b=$ base del triángulo y $h =$ altura del triángulo . Determina el área de un triángulo de base $= 3$ pies y altura $= 7$ pies .
Reduce la fracción $\frac{144}{6}$ .
Haz una tabla para la siguiente situación: Tracey salta 60 veces por minuto . Los minutos serán $\left \{0,1,2,3,4,5,6\right \}$ . ¿Cuál es el rango de esta función?

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