Ecuaciones en un paso y operaciones inversas

En esta sección aprenderás a aislar la variable utilizando operaciones inversas con el fin de resolver las ecuaciones en un paso.

¿Qué pasaría si estuvieras en un concurso de matemáticas y te dieran la ecuación $x+4=16$ ? O ¿qué pasaría si te dieran la ecuación $9x = 72$ ? ¿Podrías resolver estas ecuaciones en un solo paso?Después de terminar esta Sección, podrás resolver ecuaciones como éstas en un sólo paso utilizando operaciones inversas.

Orientación

Es más fácil de lo que crees.

Has estado resolviendo ecuaciones desde el comienzo de este libro, aunque puede que no te hayas dado cuenta. Por ejemplo, en una Sección anterior, resolviste el siguiente problema sobre una pizza.

$20.00 corresponde a un cuarto del dinero que se gastó en la pizza.

$\frac{1}{4} m=20.00$ ¿Qué número dividido por 4 es igual a 20,00?

La respuesta es 80. Por lo tanto, se gastó $80,00 en la pizza.

Al hacer los cálculos mentalmente, estabas aplicando las reglas matemáticas y despejando la variable $m$ .

Definición: resolver una ecuación significa escribir una ecuación equivalente en la que la variable se encuentra sola en uno de los lados. Esto también se conoce como despejar la variable.

Para comenzar a resolver ecuaciones, debes comprender tres conceptos básicos de álgebra: operaciones inversas, ecuaciones equivalentes y la propiedad aditiva de la igualdad.

Operaciones inversas y ecuaciones equivalentes

En otra Sección, aprendiste a simplificar una expresión utilizando el orden de las operaciones: P aréntesis, E xponentes, M ultiplicación y D ivisión desarrolladas de izquierda a derecha, y A dición y S ustracción (también desarrolladas de izquierda a derecha).Cada una de estas operaciones tiene un inverso. Las operaciones inversas se “cancelan” a sí mismas cuando se juntan.

Por ejemplo, el inverso de la adición es la sustracción. El inverso de un exponente es una raíz.

Definición: Las ecuaciones equivalentes son dos o más ecuaciones que tienen la misma solución.

La Propiedad aditiva de la igualdad.

Al igual que en las asignaturas de Español, Química o incluso Música, las matemáticas tienen un conjunto de reglas que debes seguir para poder resolver las operaciones exitosamente. A estas reglas se les llama propiedades, teoremas o axiomas. Fueron demostradas o acordadas años atrás, por lo que puedes aplicarlas en varias situaciones diferentes.

Por ejemplo, la propiedad aditiva de la igualdad nos permite aplicar la misma operación en cada lado de una ecuación, es decir, "lo que haces en un lado de la ecuación puedes hacerlo en el otro lado”.

La Propiedad aditiva de la igualdad.

Para todos los números reales $a, b,$ y $c$ :

Si $a = b$ , entonces $a + c = b + c$ .

Resolución de ecuaciones en un paso utilizando adición o sustracción

Debido a que la sustracción puede ser considerada como una “suma de un negativo”, la propiedad aditiva de la igualdad también se aplica si tienes que restar el mismo valor en cada lado de una ecuación.

Ejemplo A

Despeja $y$ :

$16 = y-11$ .

Solución: Cuando se te pide despejar $y$ , tu objetivo es escribir una ecuación equivalente con la variable $y$ sola en uno de los lados.

Escribe la ecuación original: $16 = y-11$ .

Aplica la propiedad aditiva de la igualdad: $16 + 11 = y - 11 + 11$ .

Suma para simplificar los términos semejantes: $27 = y$ .

La solución es $y = 27$ .

Ejemplo B

Despeja $z:$

$5=z+12$

Solución:

Aplica la propiedad aditiva de la igualdad:

$&5=z+12\\\&5-12=z+12-12\\\&5-12=z\\\&-7=z$

La solución es $-7=z.$

Las ecuaciones que sólo necesitan de un paso para aislar la variable se denominan ecuaciones de un paso . Éstas también involucran multiplicaciones y divisiones.

Resolución de ecuaciones en un paso utilizando multiplicación o división

La propiedad multiplicativa de la igualdad.

Para todos los números reales $a, b$ , y $c$ :

Si $a = b$ , entonces $a(c)= b(c).$

Ejemplo C

Despeja $k: -8k= -96.$

Solución: En $-8k= -8 \times k$ , la operación inversa de la multiplicación es la división. Por lo tanto, debemos anular la multiplicación aplicando la propiedad multiplicativa de la igualdad.

Escribe la ecuación original: $-8k= -96$ .

Aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad: $-8k \div -8 = -96 \div -8.$

La solución es $k= 12$ .

Cuando trabajas con fracciones, debes recordar lo siguiente: $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$ . En otras palabras, para anular una fracción utilizando la división, efectivamente debes multiplicar por su recíproco.

Video de Repaso

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

1. Determina el inverso de la división.

2. Resuelve $\frac{1}{8} \cdot x = 1.5$ .

Solución:

1. Para anularuna división de un número, deberás multiplicar por el mismo número.

2. Se está multiplicando la variable $x$ por un octavo. En vez de dividir dos fracciones, multiplicamos por el recíproco de $\frac{1}{8}$ , que es 8.

$\cancel{8} \left (\frac{1}{\cancel{8}} \cdot x \right ) & = 8(1.5) \\\x & = 12$

Práctica

En el siguiente video se encuentran disponiblesexplicaciones de ejemplo para algunos de los ejercicios de práctica. Debes notar que no siempre coinciden los números de ejercicio en el video conlos de la siguiente actividad. Sin embargo, el ejercicio es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: One-Step Equations (12:30)