Ecuaciones en dos pasos y propiedades de la igualdad

En esta Sección aprenderás a usar la propiedad aditiva y multiplicativa para resolver en dos pasos ecuaciones que has escrito.

Imagina que estás ahorrando para comprar una chaqueta de cuero que cuesta $250. Hasta el momento tienes juntado $90 y mensualmente ahorras $40.¿Puedes escribir una ecuación para representar esta situación y luego resolverla en dos pasos para encontrar el número de meses que te faltan para alcanzar la meta? En esta Sección, aprenderás a resolver problemas como éstos.

Orientación

Imagina que Shaun pesa 146 libras y quiere perder suficiente peso para luchar en la categoría Super pluma. El nutricionista le dio una dieta para que perdiera unas 2 libras por semana.¿Cuántas semanas demorará Shaun en perder el peso suficiente y así poder pelear en su categoría?

Éste es un ejemplo que se puede resolver trabajando hacia atrás. De hecho, puede que ya hayas encontrado la respuesta utilizando este método. La respuesta es 8 semanas .

Una vez que convertimos esta situación en una oración algebraica, podemos comenzar el proceso de resolución de ecuaciones . Resolver una ecuación significa “anular” todas las operaciones de la oración, dejando un solo valor para la variable.

Convierte la situación de Shaun en una ecuación.

$-2w + 146 = 130$

Esta oración consta de dos operaciones:adición y multiplicación. Para encontrar el valor de la variable, debemos utilizar ambas propiedades de la igualdad:la propiedad aditiva de la igualdad y la propiedad multiplicativa de la igualdad.

Procedimiento para resolver ecuaciones con la forma $ax + b =$ un número:

1. Utiliza la propiedad aditiva de la igualdad para dejar la variable $ax$ sola en un solo lado de la ecuación:

$ax = some\ number$

2. Utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad para dejar la variable $x$ sola en un solo lado de la ecuación:

$x = some\ number$

Ejemplo A

Resuelve el problema de Shaun.

Solución: $-2 w + 146 = 130$

Aplica la propiedad aditiva de la igualdad: $-2w + 146 - 146 = 130-146.$

Simplifica: $-2w = -16.$

Aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad: $-2w \div -2 = -16 \div -2.$

La solución es $w = 8$ .

Shaun se demorará 8 semanas en pesar 130 libras.

Resolver ecuaciones combinando de términos semejantes.

Michigan cobra 6% de impuesto a las ventas. Imagina que compraste un producto y pagaste $95,12 con impuesto incluido. ¿Cuánto costaba el producto antes de aplicar el impuesto?

Comienza por determinar el sustantivo desconocido y escoge una letra para representarlo.

No sabemos cuál es el precio de compra, por lo que ésa es nuestra variable. Llámala $p$ . Ahora traduce la oración en una ecuación algebraica.

$price + (0.06) price & = total\ amount \\\p + 0.06p & = 95.12$

Para resolver esta ecuación, debes saber combinar términos semejantes.

Los términos semejantes son expresiones que tienen partes variables idénticas .

De acuerdo a esta definición, sólo puedes combinar términos semejantes si éstos son idénticos. ¡La combinación de términos semejantes sólo se aplica para la adición y la sustracción! Esto no ocurre con la multiplicación y la división.

La parte numérica de un término algebraico se llama coeficiente . Para combinar términos semejantes, sumas (o restas) los coeficientes de las partes variables idénticas.

Ejemplo B

Identifica los términos semejantes y luego combínalos.

$10b + 7bc + 4c + (-8b)$

Solución: Los términos semejantes tienen partes variables idénticas. Los únicos términos que tienen partes variables idénticas son $10b$ y $-8b$ . Para combinar estos términos semejantes, súmalos.

$10b + 7bc + 4c + -8b = 2b + 7bc + 4c$

Ahora aplicarás esta idea al problema sobre los impuestos a la venta de Michigan.

Ejemplo C

¿Cuánto salió la compra en el problema del comienzo de esta sección?

Solución: $p + 0.06p = 95.12$

Combina los términos semejantes: $p + 0.06p = 1.06p$ , si $p = 1p.$

Simplifica: $1.06p = 95.12.$

Aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad: $1.06p \div 1.06 = 95.12 \div 1.06.$

Simplifica: $p = 89.74.$

El precio antes de aplicar el impuesto era $89,74.

Los siguientes ejemplos muestran cómo se pueden crear ecuaciones algebraicas para representar situaciones de la vida cotidiana.

Video de Repaso

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Práctica guiada

1. Un fontanero de emergencia cobra $65 por sus servicios a domicilio más $75 por hora. El fontanero llega a la casa a las 9:30 y se empieza a reparar un tanque de agua. Si el costo total por la reparación es de $196,25, ¿a qué hora se terminó la reparación?

2. Para determinar la temperatura en Fahrenheit, multiplicas los grados Celsius por 1,8 y luego sumas 32. Determina la temperatura en grados Celsius si hay $89^\circ F$ .

Solución:

1. Traduce la oración a una ecuación. El número de horas que se necesitó para terminar el trabajo es desconocido, por lo que llamémoslo $h$ .

Escribe una ecuación: $65 + 75(h) = 196.25.$

Aplica la propiedad de la adición y simplifica.

$65 + 75(h)-65 = 196.25-65$

$75(h)=131.25$

Aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad: $75(h)\div 75 = 131.25 \div 75.$

Simplifica: $h = 1.75.$

El fontanero trabajó por 1,75 horas o 1 hora y 45 minutos. Debido a que comenzó a las 9:30, la reparación terminó a las 11:15.

2. Traduce la oración a una ecuación. La temperatura en grados Celsius es desconocida; llámala $C$ .

Escribe una ecuación: $1.8C + 32 = 89.$

Aplica la propiedad aditiva y simplifica.

$1.8C + 32 - 32 & = 89 - 32 \\\1.8C & = 57$

Aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad: $1.8C \div 1.8 = 57 \div 1.8.$

Simplifica: $C = 31.67.$

Si la temperatura es $89^\circ F$ , entonces equivale a $31.67^\circ C$ .

Práctica

En el siguiente video se encuentran disponibles explicaciones de ejemplo para algunos de los ejercicios de práctica. Debes notar que no siempre coinciden los números de ejercicio en el video con los de la siguiente actividad. Sin embargo, el ejercicio es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Two-Step Equations (13:50)

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Define términos semejantes . Da un ejemplo de un par de términos semejantes y un par de términos no semejantes.
Define coeficiente .

En los ejercicios 3 - 7, combina los términos semejantes.

$-7x + 39x$
$3x^2 + 21x + 5x + 10x^2$
$6xy + 7y + 5x + 9xy$
$10ab + 9-2ab$
$-7mn-2mn^2-2mn + 8$
Explica el procedimiento utilizado para resolver $-5y-9=74$ .

Resuelve y verifica tu respuesta.

$1.3x - 0.7x = 12$
$6x-1.3=3.2$
$5x-(3x+2)=1$
$4(x+3)=1$
$5q - 7 = \frac{2}{3}$
$\frac{3}{5}x + \frac{5}{2} = \frac{2}{3}$
$s - \frac{3s}{8} = \frac{5}{6}$
$0.1y + 11 =0$
$\frac{5q-7}{12} = \frac{2}{3}$
$\frac{5(q-7)}{12} = \frac{2}{3}$
$33t - 99 = 0$
$5p - 2 =32$
$14x + 9x = 161$
$3m - 1 + 4m = 5$
$8x + 3 = 11$
$24 = 2x + 6$
$66 = \frac{2}{3}k$
$\frac{5}{8} = \frac{1}{2}(a + 2)$
$16 = -3d - 5$
Jayden compró un par de zapatos nuevos. Incluyendo un impuesto a la venta de 7%, pagó $84,68. ¿Cuánto costaron los zapatos sin el impuesto?
Un mecánico cobra $98 por las piezas y $60 por hora trabajada. Tu cuenta total es de $498.00, incluyendo las piezas y la mano de obra.¿Cuántas horas trabajó el mecánico?
Una guitarra eléctrica más un amplificador cuesta $1195,00. Pagarás una cuota inicial de $250 y el resto en 5 cuotas iguales.¿Cuánto deberás pagar mensualmente?
Jade está varada en el centro con sólo $10 para volver a casa. El taxi cuesta $0,75 por milla, pero se cobra una tarifa inicial de $2,35. Escribe una fórmula y úsala para calcular cuántas millas puede viajar con el dinero que tiene.Determina cuántas millas puede recorrer Jade.
El papá de Jasmin está planeando un cumpleaños sorpresa para su hija. Alquilará un castillo inflable y ofrecerá comida para todos los invitados. El castillo inflable cuesta $150 dólares la tarde; la comida costará $3,00 por persona. Andrew, el papá de Jasmin, cuenta con un presupuesto de $300. Escribe una ecuación para ayudarlo a determinar el máximo de personas que puede invitar.

Repaso mixto

Trish mostró su trabajo con la solución de la siguiente ecuación.¿En qué se equivocó? $-2c & = 36 \\\c & = 18$
Escribe una expresión para la siguiente situación: Yoshi tenía $d$ dólares, gastó $65 y ganó $12. Le quedan $96.
Encuentra el dominio del siguiente gráfico.
¿Representa el gráfico una función?Explica tu respuesta
Encuentra la diferencia: $\frac{1}{2}- \frac{15}{9}$ .
¿Cuál es la identidad aditiva?
Encuentra el opuesto de –4.1398.

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