Ecuaciones de múltiples pasos con términos semejantes

En esta Sección aprenderás a escribir ecuaciones y luego a resolverlas en múltiples pasos, uno de los cuales es la combinación de términos semejantes.

Imagina que tu compañero y tú están vendiendo números de rifa. Ayer se vendieron $96 en números;hoy tú vendiste 25 números y tu compañero vendió 35.Actualmente se ha vendido $576 en números.¿Puedes escribir una ecuación para representar este escenario y resolverlo en múltiples pasos, incluyendo la combinación de términos semejantes, para determinar cuánto cuesta cada número de rifa?En esta Sección aprenderás a resolver problemas como éstos.

Orientación

Hasta ahora, has aprendido a resolver ecuaciones en un paso de la forma $y=ax$ y ecuaciones de dos pasos de la forma $y = ax+b$ . Esta Sección profundizará sobre la resolución de ecuaciones de múltiples pasos y la resolución de ecuaciones que involucran la propiedad distributiva.

Resolver ecuaciones de múltiples pasos combinando términos semejantes.

En la Sección anterior, aprendiste la definición de términos semejantes y a combinar dichos términos. Utilizaremos la siguiente situación para demostrar en profundidad la resolución de ecuaciones con términos semejantes.

Estás organizando una fiesta de Halloween. Tendrás que proporcionar 3 latas de soda por persona, 4 trozos de pizza por persona y 37 recuerdos. En total tienes 79 artículos.¿Cuántas personas vendrán a tu fiesta?

Este problema tiene harta información:latas de soda, pedazos de piza, recuerdos. Traduce lo anterior en una ecuación algebraica.

$3p + 4p + 37 = 79$

Se necesitan 3 pasos para resolver esta ecuación. En general, para resolver cualquier ecuación debes seguir este procedimiento.

Procedimiento para resolver ecuaciones:

1. Quita todos los paréntesis utilizando la propiedad distributiva o la propiedad multiplicativa de la igualdad.

2. Simplifica cada lado de la ecuación combinando los términos semejantes.

3. Aísla el término $ax$ Utiliza la propiedad aditiva de la igualdad para dejar la variable en un lado del signo igual y los valores numéricos en el otro lado.

4. Despeja la variable. Utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad para dejar la variable sola a un lado de la ecuación:

5. Verifica tu solución.

Ejemplo A

Determina el número de personas que irán a la fiesta en el ejemplo del inicio.

Solución: $3p + 4p + 37 = 79$

Combina los términos semejantes: $7p+37=79.$

Aplica la propiedad aditiva de la igualdad: $7p+37-37=79-37.$

Simplifica: $7p=42.$

Aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad: $7p \div 7=42 \div 7.$

La solución es $p=6$ .

6 personas irán a la fiesta.

Ejemplo B

Kashmir necesita hacerle una cerca a su perrito. Pondrá una cerca de sólo tres lados y la conectará con el patio trasero.Quiere construir una cerca de 12 pies de largo y tiene 40 pies de material para hacerla.¿Qué tan ancha puede Kashimir hacer la cerca para su perro?

Solución: ahora traduce la oración en una ecuación algebraica. Representa el ancho de la cerca con una $w$ .

$w + w + 12 = 40$

Despeja $w$ .

$2w + 12 & = 40 \\\2w + 12 - 12 & = 40-12 \\\2w & = 28 \\\2w \div 2 & = 28 \div 2 \\\w & = 14$

Las dimensiones de la cerca son 14 pies de ancho y 12 pies de largo.

Ejemplo C

Despeja $v$ en $3v+5-7v+18=17.$

Solución:

$&3v+5-7v+18=17\\\&3v-7v+18+5=17\\\&-4v+23=17\\\&-4v+23-23=17-23\\\&-4v=-6\\\&-\frac{1}{4}\cdot -4v=-\frac{1}{4}\cdot-6\\\& v=\frac{6}{4}\\\& v=\frac{3}{2}\\\$

Verificar la respuesta:

$&3\cdot \frac{3}{2}+5-7\cdot \frac{3}{2}+18=17\\\&\frac{9}{2}+5-\frac{21}{2}+18=17\\\&-\frac{12}{2}+23=17\\\&-6+23=17\\\&17=17$

Video de Repaso

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Práctica guiada

Despeja $w$ en $5\left(2w-\frac{3}{5}\right)+10=w+16$ .

Solución:

$\text{Start by distributing the 5.} && 5\left(2w-\frac{3}{5}\right)+10&=w+16\\\&& \Rightarrow 10w-3+10&=w+16\\\\text{Combine like terms on the left side.} && \Rightarrow 10w+7&=w+16 \\\\text{Subtract 7 and }w \text{ from each side.} && \Rightarrow 10w+7-7-w&=w+16-7-w\\\&& \Rightarrow 9w&=9\\\\text{Isolate }w \text{ by dividing each side by 9.} && \Rightarrow \frac{9w}{9}&=\frac{9}{9}\\\&& \Rightarrow w&=1$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Multi-Step Equations (15:01)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

En los ejercicios 1 – 3, resuelve la ecuación.

$f-1+2f+f-3=-4$
$2x+3+5x=18$
$5-7y-2y+10y=30$

Escribe una ecuación y luego despeja la variable en los ejercicios 4 – 8.

Encuentra cuatro pares consecutivos cuya suma sea 244.
Cuatro más dos tercios de un número es igual a 22. ¿Cuál es el número?
El costo total de un almuerzo es de $3,50. Éste consiste en un jugo, un sándwich y una pera. El jugo cuesta 1,5 veces más que la pera. El sándwich cuesta $1,40 más que la pera. ¿Cuánto vale la pera?
La escuela Camden High tiene 5 veces más computadores que notebook y tiene 65 computadores.¿Cuántos notebook tiene la escuela?
Un agente inmobiliario recibe una comisión de $7,00 por cada $100 del precio de venta de una casa.¿Cuál fue el precio de venta de una casa si el agente inmobiliario ganó $5.389,12 de comisión?

Repaso mixto

Simplifica $1 \frac{6}{7} \times \frac{2}{3}$ .
Define evalua .
Simplifica $\sqrt{75}$ .
Despeja $m: \frac{1}{9} m=12$ .
Evalúa: $((-5) - (-7) - (-3)) \times (-10)$ .
Resta: $0.125- \frac{1}{5}$ .

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