Ecuaciones con variables en ambos lados

En esta Sección aprenderás acerca de las ecuaciones que tienen una variable a ambos lados y a cómo resolverlas.

Bill y Kate están leyendo una novela de 500 páginas. Hasta ahora, Bill ha leído 70 páginas y Kate, 50 páginas; sin embargo, a partir de ahí, Bill planea leer 25 páginas por día, mientras que Kate planea leer 29 páginas por día. ¿Después de cuántos días habrán leído el mismo número de páginas? ¿Sabes cómo escribir y resolver una ecuación para responder una pregunta como ésta? Dicha ecuación tendrá la variable a ambos lados. En esta Secciónaprenderás a resolver éste tipo de ecuación.

Observa.

Enlace multimedia: mira este video: para ver cómo resolver una ecuación con una variable a ambos lados.

Orientación

Como habrás notado, hay ecuaciones de diversos tamaños y estilos. Hay ecuaciones que se resuelven en un paso, en dos pasos y en múltiples pasos. En esta Sección aprenderás a resolver ecuaciones con una variable a ambos lados. El proceso que necesitas para resolver este tipo de ecuación es similar a resolver una ecuación de múltiples pasos. A continuación repetiremos el procedimiento.

Procedimiento para resolver ecuaciones:

1. Quita todos los paréntesis utilizando la propiedad distributiva o la propiedad multiplicativa de la igualdad.

2. Simplifica cada lado de la ecuación combinando los términos semejantes.

3. Aísla el término $ax$ .Utiliza la propiedad aditiva de la igualdad para dejar la variable en un lado del signo igual y los valores numéricos en el otro lado.

4. Despeja la variable. Utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad para dejar la variable sola en un solo lado de la ecuación:

5. Verifica tu solución.

Karen y Sarah tienen cuentas bancarias.Karen tiene un saldo inicial de $125,00 y deposita $20 cada semana. Sarah tiene un saldo inicial de $43 y deposita $37 semanalmente.¿Cuándo tendrán las chicas la misma cantidad de dinero?

Para resolver este problema, puedes usar el método de “predecir y verificar”.Estás buscando una semana en particular en la que las cuentas bancarias tienen el mismo saldo.¡Esto puede tardar!Traduce la oración a una ecuación. El número de semana es desconocido, así que ésa es nuestra variable. Llamémosla $w$ . Ahora traduce esta situación en una ecuación algebraica:

$125 + 20w =43 + 37w$

En este caso, la variable $w$ aparece a ambos lados de la ecuación. Para comenzar a calcular el valor desconocido, debemos utilizar la propiedad aditiva de la igualdad con el fin de juntar las variables a un solo lado de la ecuación.

Ejemplo A

Determina cuándo Sarah y Karen tendrán la misma cantidad de dinero.

Solución: utiliza la propiedad aditiva de la igualdad para mover las variables a uno de los lados de la ecuación:

$125+20w-20w=43+37w-20w$

Simplifica: $125=43+17w$

Resuelve utilizando los pasos de una Sección anterior:

$125-43 & =43-43+17w \\\82 & =17w \\\82 \div 17 & =17w \div 17 \\\w & \approx 4.82$

Las cuentas de Sarah y Karen demorarán unas 4,8 semanas en tener la misma cantidad de dinero.

Ejemplo B

Despeja $y$ en $2y-5=3y+10.$

Solución:

Para resolver esta ecuación, necesitamos conseguir que ambos términos con una variable estén en el mismo lado. La forma más fácil de hacerlo es restar la variable con el coeficiente más pequeño, en cada lado.

$&2y-5=3y+10\\\&-2y+2y-5=-2y+3y+10\\\&-5=y+10\\\&-5-10=y+10-10\\\&-15=y$

Verificación de nuestra respuesta:

$&2(-15)-5=3(-15)+10\\\&-30-5=-45+10\\\&-35=-35\\\$

Ejemplo C

Despeja $h:3(h+1)= 11h-23.$

Solución: primero, debes quitar los paréntesis utilizando la propiedad distributiva:

$3h+3= 11h-23$

Reúne las variables en un lado:

$3h-3h+3= 11h-3h-23$

Simplifica:

$3=8h-23$

Resuelve utilizando los pasos de una Sección anterior:

$3+23 & =8h-23+23 \\\26 & =8h \\\26 \div 8 & = 8h \div 8 \\\h & = \frac{13}{4} =3.25$

Video de Repaso

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Despeja $g$ cuando $-5g+3=-8g+9.$

Solución:

En este caso, nuestros dos términos que tienen la variable son negativos. El mismo consejo en el Ejemplo B se aplica aquí y debido a que $-8<-5$ , restaremos -8. Sin embargo, la operación de restar -8 puede ser simplificada si se suma 8 (propiedad de los opuestos). Lo anterior nos dejará con un coeficiente positivo al frente de nuestra variable.

$&-5g+3=-8g+9\\\&+8g-5g+3=+8g-8g+9\\\&3g+3=9\\\&3g+3-3=9-3\\\&3g=6\\\&\frac{1}{3}\cdot 3g=\frac{1}{3}\cdot 6\\\& g=2\\\&$

Verificación de la respuesta:

$&-5(2)+3=-8(2)+9\\\&-10+3=-16+9\\\&-7=-7$

Por lo tanto, $g=2.$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Equations with Variables on Both Sides (9:28)

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Resuelve la ecuación en los ejercicios 1 – 13.

$3(x-1) = 2 (x+3)$
$7(x+20) = x + 5$
$9(x-2) = 3x + 3$
$2 \left (a - \frac{1}{3} \right ) = \frac{2}{5} \left (a + \frac{2}{3} \right )$
$\frac{2}{7} \left (t + \frac{2}{3} \right ) = \frac{1}{5} \left (t - \frac{2}{3} \right )$
$\frac{1}{7} \left (v + \frac{1}{4} \right ) = 2 \left (\frac{3v}{2} - \frac{5}{2} \right )$
$\frac{y - 4}{11} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2y + 1}{3}$
$\frac{z}{16} = \frac{2(3z + 1)}{9}$
$\frac{q}{16} + \frac{q}{6} = \frac{(3q+1)}{9} + \frac{3}{2}$
$21 + 3b = 6 - 6 (1 - 4b)$
$-2x + 8 = 8(1 - 4x)$
$3(-5v - 4) = -6v - 39$
$-5 (5k + 7) = 25 + 5k$
Manoj y Tamar discuten acerca de cuáles son los pasos de un truco numérico que escucharon. Tamar le dice a Andrew que piense en un número, lo multiplique por 5 y le reste tres al resultado. Luego Manoj le dice a Andrew que piense en un número, le sume 5 y multiplique el resultado por tres. Andrew dice que en ambos trucos obtiene la misma respuesta.¿Cuál era el número de Andrew?
Tengo suficiente dinero para comprar 5 cedés a precio normal y me sobran $6.Sin embargo, hoy todos los cedés tienen un descuento de $4 menos que el precio normal. Si pido prestado $2, puedo comprar 9 cedés. ¿Cuánto cuestan los cedés con el descuento de hoy?
Jaime tiene una cuenta bancaria con un saldo de $412 y semanalmente ahorra $18. George tiene una cuenta bancaria con un saldo de $874 y semanalmente gasta $44.¿Cuándo tendrán ambos la misma cantidad de dinero?
Un plan de celular A cobra $75,00 mensual y $0,05 por mensaje de texto. Un plan de celular B cobra $109 dólares y $0,00 por mensaje de texto.
1. ¿Con cuántos mensajes de textos los dos planes cobrarán lo mismo?
2. Supón que planeas enviar 3.000 mensajes de texto mensuales.¿Qué plan deberías escoger?¿Por qué?
Por arrendar el juego del tanque para tirar a una persona al agua, Modern Rental cobra $150 por día. Por arrendar el mismo juego, Budgetwise cobra $7,75 por hora.
1. ¿Cuándo cobrarán las dos compañías lo mismo?
2. Necesitarás el tanque por 24 horas para una recaudación de fondos.¿Qué compañía deberías escoger?

Repaso mixto

Despeja $t:\ -12+t=-20$ .
Despeja $r:\ 3r-7r=32$ .
Despeja $e:\ 35=5(e+2)$ .
25 más cuatro veces un número es igual a 13. ¿Cuál es el número?
Encuentra el opuesto de $9 \frac{1}{5}$ . Escribe tu respuesta como fracción impropia.
Evalúa $(|b|-a)-(|d|-a)$ . Si $a=4,\ b=-6$ , y $d=5$ .
Da un ejemplo de un entero que no sea un número contable.

Prueba rápida

Determina el inverso de la adición.
Despeja $w:\ -4w=16.$
Escribe una ecuación para representar la siguiente situación y resuélvela Shauna corrió los 400 metros planos en 56,7 segundos;0,98 segundos menos que su tiempo anterior.¿Cuál fue el tiempo anterior?
Despeja $b:\ \frac{1}{2} b+5=9.$
Despeja $q:\ 3q+5-4q=19.$

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