Ecuaciones con razones y proporciones

En esta Sección aprenderás la definición de razón y proporción y también a resolver problemas utilizando razones y proporciones.

Imagina que en 5 minutos puedes escribir a computador 150 palabras. Si sigues con este ritmo, ¿sabes cuántas palabras podrás escribir a computador en 12 minutos?Para responder esta pregunta, puedes usar razones o una proporción. En esta Sección aprenderás a resolver ecuaciones con razones y proporciones para que puedas responder preguntas como la anterior.

Orientación

Las razones y proporciones ocupan un lugar primordial en matemáticas. Son utilizadas en geometría, cambios de medidas y trigonometría. Esta Sección profundiza sobre el concepto de las fracciones para incluir razones y proporciones.

Una razón es una fracción que comprara dos objetos con las mismas unidades.

Una tasa es una fracción que comprara dos objetos con unidades diferentes.

Has visto tasas muchas veces: 65 millas / hora , $1.99/ libra , y $3.79/ $yd^2$ . También conoces las razones. Una razón “estudiante profesor” muestra aproximadamente cuántos estudiantes tiene a cargo un profesoren una escuela.

Ejemplo A

La Sala del Comedor del Estado en la Casa Blanca mide aproximadamente 48 pies de largo y 36 pies de ancho. Compara el largo de la sala con el ancho y expresa tu respuesta como una razón.

Solución:

$\frac{48\ feet}{36\ feet} = \frac{4}{3}$

El largo de la Sala del Comedor del Estado mide $\frac{4}{3}$ del ancho.

Una proporción es un enunciado en el que dos fracciones son iguales: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Ejemplo B

¿Es $\frac{2}{3} = \frac{6}{12}$ una proporción?

Solución: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 12 para tener un denominador común.

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12} \neq \frac{6}{12}$

NO es una proporción porque las fracciones no son iguales.

Una razón también puede ser escrita con dos puntos en vez de una barra de fracción.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ también se puede leer como, “ $a$ es a $b$ como $c$ es a $d$ ” o $a:b = c:d.$

A los valores de $a$ y $d$ se les denomina extremos de la proporción y a los valores de $b$ y $c$ se les llama medios . Para resolver una proporción, puedes utilizar los productos cruzados .

Los productos cruzados de una proporción:

Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , entonces $ad=bc$ .

Ejemplo C

Solve $\frac{a}{9} = \frac{7}{6}$ .

Solución: aplica los productos cruzados de una proporción:

$6a & =7(9) \\\6a & =63$

Despeja $a$ .

$a=10.5$

Video de Repaso

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Práctica guiada

Considera la siguiente situación: un tren viaja a una velocidad constante. Avanza 15 millas en 20 minutos.¿Cuánto avanzará el tren en 7 horas, suponiendo que mantiene la misma velocidad?

Solución:

Éste es un ejemplo de un problema que puede ser resuelto a través de varios métodos, incluyendo las proporciones. Para resolverlo utilizando una proporción, necesitas traducir el enunciado a una oración algebraica. La clave para escribir proporciones correctamente es mantener las unidades iguales en cada fracción.

$\frac{miles}{time} = \frac{miles}{time} && \frac{miles}{time} \neq \frac{time}{miles}$

Antes sustituir las millas y el tiempo en nuestra proporción, nuestras unidades deben ser las mismas. Se nos entrega la velocidad del tren en minutos y se nos pregunta cuánto avanzará el tren en 7 horas, por lo tanto, tenemos que encontrar cuántos minutos equivalen a 7 horas. Ya que una hora tiene 60 minutos:

$7 \times 60=420$

Por lo tanto, 7 horas equivalen a 420 minutos.

$&\frac{miles}{time} = \frac{miles}{time}\\\&\frac{15}{20} = \frac{miles}{420}\\\$

Ahora encontramos el número de millas multiplicando cruzado las proporciones:

$&15\times 420 =miles \times 20\\\&15\times 420\times \frac{1}{20} =miles \times 20 \times \frac{1}{20}\\\&15\times \frac{420}{20} =miles\\\&15\times 21 =miles\\\&315 =miles$

El tren viajó 315 millas en 7 horas.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Ratio and Proportion (10:25)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Escribe las siguientes comparaciones como razones. Simplifica las fracciones cuando sea posible.

$150 a $3
150 niños a175 niñas
200 minutos a1 hora
10 días a 2 semanas

Escribe las razones como una tasa por unidad en los ejercicios 5 – 10.

54 hotdog en 12 minutos
5000 libras en 250 $in^2$
20 computadores por 80 estudiantes
180 estudiantes por 6 profesores
12 metros en 4 pisos
18 minutos por 15 citas
Da un ejemplo de una proporción que utilice los números 5, 1, 6, y 30
En la siguiente proporción, identifica los medios y los extremos: $\frac{5}{12} = \frac{35}{84}$

En los ejercicios 13 – 23, resuelve la proporción.

$\frac{13}{6} = \frac{5}{x}$
$\frac{1.25}{7} = \frac{3.6}{x}$
$\frac{6}{19} = \frac{x}{11}$
$\frac{1}{x} = \frac{0.01}{5}$
$\frac{300}{4} = \frac{x}{99}$
$\frac{2.75}{9} = \frac{x}{\left (\frac{2}{9} \right )}$
$\frac{1.3}{4} = \frac{x}{1.3}$
$\frac{0.1}{1.01} = \frac{1.9}{x}$
$\frac{5p}{12} = \frac{3}{11}$
$- \frac{9}{x} = \frac{4}{11}$
$\frac{n+1}{11} = -2$
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Repaso mixto

Resuelve $\frac{15}{16} \div \frac{5}{8}$ .
Evalúa $|9-108|$ .
Simplifica: $8(8-3x)-2(1+8x)$ .
Despeja $n: \ 7(n+7)=-7$ .
Despeja $x: \ -22=-3+x$ .
Despeja $u: \ 18=2u$ .
Simplifica: $- \frac{1}{7}- \left (-1 \frac{1}{3} \right )$ .
Evalúa: $5\times \frac{p}{6} |n|$ si $n=10$ y $p=-6$ .
Si $-4 \le x \le 4$ haz una tabla para $f(x)= \frac{1}{8} x + 2$ .
Escribe la ecuación como una oración: $y + 11$ .

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