Usos de escalas y medición indirecta

En esta Sección aprenderás a utilizar proporciones para hacer mediciones indirectas.

Imagina que una empresa de arquitectos está construyendo un edificio y primero construyen un modelo de 4 pies de alto. Si la escala es de 1:125 cuando es comparado con la altura del edificio real, ¿puedes encontrar la altura del edificio real?¿Qué proporción establecerías?Al terminar esta Sección, serás capaz de establecer y despejar la variable en unaproporción cuando te encuentres con problemas como este.

Orientación

De vez en cuando debemos hacer mediciones de objetos que serían difíciles de medir directamente:la altura de un árbol grande, la anchura de un río amplio, la altura de los cráteres de la luna e incluso la distancia entre dos ciudades separadas por terrenos montañosos. En tales circunstancias, se pueden tomar medidas indirectamente , utilizando proporciones y triángulos semejantes. Estos métodos indirectos relacionan medición con geometría y números. En esta Sección, revisaremos algunos de los métodos usados para realizar mediciones indirectas.

Un mapa es una representación de dos dimensiones, geométricamente precisa de una sección de la superficie terrestre. Los mapas se utilizan para mostrar gráficamente cómo están dispuestas varias características geográficas en un área en particular. La escala del mapa describe la relación entre las distancias del mapa y lasdistancias correspondientes en la superficie de la Tierra. Estas mediciones son expresadas como una fracción o una razón.

En la Sección anterior, aprendiste sobre las diferentes formas de escribir una razón: utilizando una barra fraccionaria, dos puntos y en palabras. Fuera de los libros de matemáticas, las razones a menudo se escriben como dos números separados por dos puntos (:).Aquí tenemos una tabla que compara las razones escritas de dos formas diferentes.

Razón	Se lee como	Equivale a
1:20	uno es a veinte	$\left (\frac{1}{20} \right )$
2:3	dos es a tres	$\left (\frac{2}{3} \right )$
1:1000	uno es a mil	$\left (\frac{1}{1000} \right )$

Ejemplo A

Si un mapa tiene una escala de 1:1000 (“uno es a mil”), una unidad de medida en el mapa (1 pulgada o 1 centímetro, por ejemplo) representaría 1000 de las mismas unidades en el terreno real.¡Un mapa 1:1 (uno es a uno) sería un mapa tan grande como el área que está mostrando!

Ejemplo B

Anne está visitando a un amigo en Londres y está utilizando el mapa de arriba para ir desde Fleet Street a Borough Road.Está usando un mapa con una escala de 1:100.000, en el que 1 cm en el mapa representa 1 km en la vida real. Utilizando una regla, ella mide la distancia en el mapa como 8,8 cm. ¿Cuál es la distancia real desde el punto de partida del viaje hasta el punto final?

La escala es la razón entre la distancia en el mapa y la distancia correspondiente en la vida real, yse puede escribir como una proporción.

$\frac{\text{dist.on map}}{\text{real dist.}} = \frac{1}{100, 000}$

Si se sustituyen los valores conocidos, la proporción se convierte en:

$\frac{8.8 \ cm}{\text{real dist.} (x)} & = \frac{1}{100,000} && \text{Cross multiply}. \\\880000 \ cm & = x && 100 \ cm = 1\ m. \\\x & = 8800 \ m && 1000 \ m = 1\ km.$

La distancia desde Fleet Street hasta Borough Road es de $8800\ m$ o $8.8\ km$ .

En este caso, podríamos utilizar nuestra intuición:la escala $1 \ cm = 1 \ km$ indica que simplemente podríamos leer el mapa en centímetros para tener una lectura en kilómetros. No todos los mapas tienen una escala así de simple.¡En general, tendrás que consultar la escala del mapa para convertir las medidas de éste en medidas reales!

Ejemplo C

Oscar intenta hacer un dibujo a escala del Titanic. Él sabe que el barco medía 883 pies de largo. Le gustaría que su dibujo tuviera una escala de 1:500.¿Qué tan larga, en pulgadas, debiese ser su hoja?

Solución: podemos concluir, ya que la escala es 1:500, que el papel debe tener $\frac{883}{500} = 1.766\ feet$ de largo. Si convertimos a pulgadas, la longitud queda como $12 (1.766) \ in = 21.192 \ in$ .

El papel debe medir al menos 22 pulgadas de largo.

No todo tiene una escala. Las arquitecturas del Arco de San Luis, la catedral de San Basilio o de la torre Eiffel no tienen una escala escrita al lado. Puede que sea necesario medir estas edificaciones. Para hacerlo, se necesita tener conocimiento de figuras semejantes y un método llamado medición indirecta .

Generalmente se utilizan figuras semejantes para medir indirectamente.Se dice que dos formas son semejantes si tienen la misma forma y si están “en proporción”.La razón de cada distanciaque se puede medir en una figura y la longitud correspondiente en otra es la misma. Generalmente se utilizan triángulos semejantes paramedir indirectamente.

Anatole está visitando Paris y quiere saber la altura de la torre Eiffel.Debido a que no sabe hablar francés, decide medirla en tres pasos.

1. Mide 500 metros desde la base de la torre y coloca un pequeño espejo de forma horizontal en el piso.
2. Se sitúa detrás del espejo en un punto en que,erguido, puede ver reflejada en el espejo la parte más alta de la torre.
Mide la distancia que hay entre él y el espejo (2,75 metros) y la altura que hay desde el suelo hasta sus ojos (1,8 metros).

Explica cómo Anatole puede determinar la altura de la torre Eiffel a partir de estos números y determina cuál eslaaltura de la torre.

Primero, dibujaremos y etiquetaremos un diagrama a escala de la situación.

La ley de reflexión dice que “el ángulo que forma la luz cuando se refleja en el espejo es el mismo ángulo que se forma cuando la luz incide en éste”. Al utilizar este principio y la figura de arriba, puedes concluir que estos triángulos son semejantes y suslados son proporcionales.

Esto significa que la razón entre el lado largo del triángulo grande y la longitud del lado largo en el triángulo pequeño es la misma razón que la longitud del lado corto en el triángulo grande y la longitud del lado corto en el triángulo pequeño.

$\frac{500 \ m}{2.75 \ m} & = \frac{x}{1.8 \ m} \\\ 1.8 \cdot \frac{500}{2.75} & = \frac{x}{1.8} \cdot 1.8 \\\327.3 & \approx x$

La torre Eiffel, de acuerdo con estos cálculos, mide aproximadamente 327,3 metros de alto.

Video de Repaso

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Ejemplo guiado

Bernard está mirando un faro y se pregunta qué tan alto es. Se dio cuenta de que el faro proyecta una sombra larga, la cual mide 200 metros de largo. Al mismo tiempo, mide su propia sombra en 3,1 metros de largo. Bernard mide 1,9 metros de altura. ¿Cuál es la altura del faro?

Solución: comienza por dibujar un diagrama a escala.

Puedes ver que hay dos triángulos rectángulos. El ángulo de la sombra que proyecta el sol cuando pasa por el faro es el mismo ángulo que la sombra de Bernard. Tenemos dos triángulos semejantes, por lo tanto, nuevamente podemos decir que la razón de los lados correspondientes es la misma.

$\frac{200 \ m}{3.1 \ m} & = \frac{x}{1.9 \ m} \\\1.9 \cdot \frac{200 \ m}{3.1 \ m} & = \frac{x}{1.9 \ m} \cdot 1.9 \\\122.6 & \approx x$

El faro mide aproximadamente 122,6 metros de alto.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Scale and Indirect Measurement (10:44)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Define figuras semejantes .
¿Cuáles son las propiedades de las figuras semejantes?
¿Cuál es el proceso para medir indirectamente? ¿Cuándo es útil usar la medición indirecta?
Escribe la ley de reflexión.¿Cómo se relaciona esta ley con las figuras semejantes?
Un mapa tiene una escala de 1 pulgada : 20 milla . Si dos ciudades se encuentran separadas por 1.214 millas ¿qué tan separadas estarán en el mapa?
¿Qué significaría tener una escala de 1 milla : 1 milla en un mapa?¿Con qué problemas se encontraría el cartógrafo?
Una mujer con una altura de 66 pulgadas se encuentra de pie junto a un árbol. Su sombra mide 34 pulgadas y la sombra del árbol es de 98 pulgadas. En pies, ¿cuál es la altura del árbol?

Utiliza el diagrama a escala del helicóptero para determinar:
1. El largo del helicóptero (desde la cabina hasta la cola)
2. La altura del helicóptero (desde el piso hasta la hélice)
3. La longitud de una hélice principal.
4. El ancho de la cabina.
5. El diámetro de la hélice trasera.
En una mañana soleada, la sombra del edificio Empire State es de 600 pies de largo. Al mismo tiempo, la sombra de un vara para medir (3 metros) es de 1 pie, $5 \frac{1}{4}$ pulgadas. ¿Cuál es la altura del edificio Empire State?
Omar y Fredrickson se encuentran separadas por 12,4 pulgadas en un mapa con una escala de 1,2 pulgadas: 15 millas.¿Qué tan lejos se encuentran las dos ciudades, en millas?
Un hombre con una altura de 6 pies está parado junto a un perro. La sombra que proyecta el hombre es de 9 pies y la sombra del perro mide 6 pies.¿Cuál es la altura del perro?
Una casa en miniatura mide 12 pulgadas de ancho. Fue construida con una razón de 3 pulgadas: 4 metros.¿Cuál es el ancho de la casa real?
Utilizando el siguiente diagrama y considerando que los dos triángulos son semejantes, encuentra $\overline{DE}$ , la longitud del segmento $DE$ .
Un mástil de 42,9 pies proyecta una sombra de 253,1 pies.¿Cuál es la longitud de la sombra de una mujer que mide 5 pies y 5 pulgadas, y que se encuentra de pie al lado del mástil.

Repaso mixto

Despeja $a: \ -(7-7a)+4a=-23+3a$ .
¿Cuál es la diferencia entre evaluar y resolver?Da un ejemplo para ilustrar tu explicación.
Simplifica $\sqrt{243}$ .
Simplifica: $2(8g+2)-1+4g-(2-5g)$ .
Dibuja un gráfico que no represente una función. Explica por qué tu dibujo no representa una función.
Jose tiene $\frac{2}{3}$ del dinero que tiene Chloe. Chloe tiene cuatro dólares menos que Huey. Huey tiene $26. ¿Cuánto dinero tiene Jose?

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