Variación porcentual

En esta Sección observarás problemas que involucran una variación porcentual y aprenderás a resolverlos.

¿Has escuchado alguna vez acerca del mercado de valores?Puedes comprar una acción de una compañía y su valor puede aumentar o disminuir. Imagina que una acción de tu compañía favorita aumentó su valor en 40% este año y ahora vale $200. ¿Sabes cómo encontrar el valor de una acción al comienzo del año?¿Qué pasaría si supieras el valor del comienzo del año y cuánto aumentó el porcentaje?¿Podrías encontrar el valor actual?¿Qué pasaría si supieras el valor al comienzo del año y el valor actual?¿Podrías encontrar cuánto aumentó el porcentaje?Serás capaz de responder preguntas como éstas al terminar esta Sección.

Orientación

Una forma útil de expresar cambios en cantidades es a través de los porcentajes. Probablemente has visto signos como “20% más gratis” o “ahorra un 35% hoy”.Cuando usamos porcentajes para representar un cambio, generalmente utilizamos la fórmula:

$\text{Percent change} = \left (\frac{\text{final amount - original amount}}{\text{original amount}} \right ) \times 100\%$

Un porcentaje positivo sería entonces un incremento , mientras que un cambio negativo sería una disminución.

Ejemplo A

Una escuela de 500 alumnos espera que la cantidad de alumnos aumente en un 20% el próximo año.¿Cuántos alumnos tendrá la escuela?

Solución: utilizando la ecuación de variación porcentual, traduce la situación a una ecuación. Ya que el 20% es un incremento, lo escribimos como un valor positivo.

$\text{Percent change} = \left (\frac{\text{final amount - original amount}}{\text{original amount}} \right ) \times 100\%$

$20\% & = \left (\frac{\text{final amount} - 500}{500} \right ) \times 100\% && \text{Divide both sides by}\ 100\% .\\\& && \text{Let}\ x = \text{final amount}. \\\0.2 & = \frac{x - 500}{500} && \text{Multiply both sides by}\ 500. \\\100 & = x - 500 && \text{Add}\ 500\ \text{to both sides}. \\\600 & = x$

La escuela tendrá 600 alumnos el próximo año.

Ejemplo B

Un reproductor de mp3 que cuesta $150 tiene un descuento de 30%. ¿Cuál es el valor del mp3?

Solución: utilizando la ecuación de variación porcentual, traduce la situación a una ecuación. Debido a que 30% es un descuento, lo escribimos como un número negativo.

$\text{Percent change} = \left (\frac{\text{final amount - original amount}}{\text{original amount}} \right ) \times 100\%$

$\left (\frac{x- 150} {150} \right ) \cdot 100\% & = - 30\% && \text{Divide both sides by}\ 100\%. \\\\left (\frac{x - 150}{150} \right ) &= -0.3\% && \text{Multiply both sides by}\ 150. \\\x - 150 = 150 (-0.3) &= -45 && \text{Add}\ 150\ \text{to both sides}. \\\x & = -45 + 150 \\\x & = 105$

El reproductor de mp3 costará $105.

Muchas situaciones de la vida cotidiana involucran porcentajes. Considera el siguiente caso.

Ejemplo C

Una polera cuyo precio original era de $30 es rebajada a $20. Además, todos los productos a la venta tienen otro 20% de descuento.

a. ¿Cuánto vale la polera?

b. ¿Qué porcentaje es este valor del precio original?

Solución:

a. En este caso, $20 es nuestro precio original y la variación porcentual será una disminución de 20%.

$\left (\frac{x- 20} {20} \right ) \cdot 100\% & = - 20\% && \text{Divide both sides by}\ 100\%. \\\\left (\frac{x - 20}{20} \right ) &= -0.2\% && \text{Multiply both sides by}\ 20. \\\x - 20 = 20 (-0.2) &= -20\% && \text{Add}\ 20\ \text{to both sides}. \\\x & = -4 + 20 \\\x & = 16$

La polera costará $16 después de aplicar el 20% de descuento.

b. Ahora necesitamos calcular qué porcentaje es $16 del valor original, $30.

$\left (\frac{16- 30} {30} \right ) \cdot 100\% & = \text{Percent Change} && \text{Simplifica the left side.} \\\\left (\frac{-14} {30} \right ) \cdot 100\% & = \text{Percent Change} && \text{Simplifica the left side.} \\\\left (\frac{-7} {15} \right ) \cdot 100\% & = \text{Percent Change} && \text{Simplifica the left side.} \\\-0.47 \cdot 100\% & = \text{Percent Change} && \text{Replace with an approximate decimal.} \\\-47\% & = \text{Percent Change} && \text{Multiply to find the final answer.}$

La polera fue comprada con alrededor de un 47% de descuento del precio original, $30.

Video de Repaso

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Ejemplo guiado

En 2004, el Departamento de Agricultura de Estados Unidos (USDA, por sus siglas en inglés), tenía 112.071 trabajadores, de los cuales 87.846 eran de origen caucásico. De las minorías restantes, los trabajadores afroamericanos e hispanos eran los dos grupos demográficos más grandes, con 11.754 y 6.899 trabajadores, respectivamente. $^*$

a) Calcula el porcentaje total de los trabajadores que pertenecen a la minoría (no caucásicos) en el USDA.

b) Calcula el porcentaje de trabajadores afroamericanos en el USDA.

c) Calcula el porcentaje de los trabajadores que pertenecen a la minoría en el USDA y que no son afroamericanos ni hispanos.

Solución:

a) Utiliza la ecuación de porcentaje $\text{Rate} \times \text{Total} = \text{Part}$ . El número total de trabajadores es 112.071. Sabemos que el número de trabajadores caucásicos es 87.846, lo que significa que debe haber $(112,071 - 87,846) = 24,225$ empleados no caucásicos. Esta es la parte .

$\text{Rate} \times 112,071 & = 24,225 && \text{Divide both sides by}\ 112,071. \\\\text{Rate} & \approx 0.216 && \text{Multiply by}\ 100 \ \text{to obtain percent}. \\\\text{Rate} & \approx 21.6\%$

Aproximadamente 21,6% de los empleados del USDA en el 2004 eran grupos minoritarios.

b) $\text{Total} = 112,071 \ \text{Part} = 11,754$

$\text{Rate} \times 112,071 & = 11,754 && \text{Divide both sides by}\ 112,071. \\\\text{Rate} & \approx 0.105 && \text{Multiply by}\ 100 \ \text{to obtain percent}. \\\\text{Rate} & \approx 10.5\%$

Aproximadamente 10,5% de los empleados del USDAen el 2004 eran afroamericanos.

c) Sabemos que hay 24.225 trabajadores de origen no caucásicos. Esto significa que debe haber $(24,225 - 11,754 - 6899) = 5572$ trabajadores que pertenecen a la minoría que no son afroamericanos ni hispanos. La parte es 5572.

$\text{Rate} \times 112,071 & = 5572 && \text{Divide both sides by}\ 112,071. \\\\text{Rate} & \approx 0.05 && \text{Multiply by}\ 100 \ \text{to obtain percent}. \\\\text{Rate} & \approx 5\%$

Aproximadamente 5% de los trabajadores que pertenecen a la minoría del USDA en el 2004 no eran afroamericanos ni hispanos.

Práctica

En el siguiente video se encuentran disponibles explicaciones de ejemplo para algunos de los ejercicios de práctica. Debes notar que no siempre coinciden los números de ejercicio en el video con los de la siguiente actividad. Sin embargo, el ejercicio es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Percent Problems (14:15)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Resuelve los siguientes problemas.

Un agente inmobiliario gana 7,5% de comisión por la venta de una casa.¿Cuánta comisión recibirá el agente inmobiliario si la casa se vende por $215.000?
El departamento de bomberos espera recaudar $30.000 para reparar la estación de bomberos. Hasta ahora el departamento ha recaudado $1.750,00. ¿Qué porcentaje representa esta cantidad de su meta?
Una polera que cuesta $49,99 se vende con descuento a $29,99. ¿Qué porcentaje se le descontó a la polera?
Se vende una televisión. Ésta tiene un descuento de 35% y queda con un valor nuevo de $195. ¿Cuál era el precio original?
A una trabajadora de una tienda se le paga actualmente $9,50 por hora. Si trabaja un año completo, obtiene un 12% de aumento en su sueldo.¿Cuál será su nueva tarifa por hora después del aumento?
Tanto la Tienda A como la Tienda B venden bicicletas y ambas le compran bicicletas al mismo proveedor alos mismos precios. La Tienda A incrementa en un 40% sus precios, mientras que la Tienda B en un 90%. La Tienda B ofrece una oferta permanente y siempre aplica un 60% de descuento en esos precios.¿Cuál de las dos tiendas tiene la mejor oferta?
Se entrevistó a 788 alumnos acerca de su tipo favorito de programa televisivo.El 18% declaró que su programa favorito eran los basados en la vida real.¿Cuántos alumnos dijeron que su programa favorito eran los basados en la vida real?

Repaso mixto

Haz una lista de las propiedades usadas en cada paso de la resolución de las siguientes ecuaciones:

$4(x-3) & = 20 \\\4x-12 & =20 \\\4x & = 32 \\\x & = 8$

El volumen de un cilindro se obtiene con la fórmula $Volume = \pi r^2 h$ , en la que $r=$ el radio y $h =$ la altura del cilindro . Determina el volumen de una lata de sopa con un radio de 3 pulgadas y una altura de 5.5 pulgadas .
Encierra en un círculo el sustantivo matemático en esta oración: Jerry hace canastas de navidad para su agrupación juvenil, puede hacer unacada 50 minutos.¿Cuántas canastas puede hacer Jerry en 25 horas?
11. ¿Cuándo hacer una tabla es una buena estrategia para resolver problemas? ¿Cuándo puede que no sea una buena estrategia?
Despeja $w:\ \frac{10}{w} = \frac{12}{3}$ .

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