Fórmulas para resolver problemas

En esta Sección incluirás el uso de fórmulas en tu caja de herramientas de estrategias para resolver problemas.

Imagina que se te permite ingresar fórmulas en tu calculadora antes de hacer una prueba. ¿Sabrías cómo ingresar la fórmula del área de la superficie de un cubo?¿La fórmula del volumen de un cono? Y ¿la fórmula del área de un rectángulo? En esta Sección aprenderás a utilizar todas estas fórmulas, ¡por lo que puede que no necesites la calculadora después de todo!

Orientación

Algunos problemas son fáciles de resolver si aplicas una fórmula, como, por ejemplo, la ecuación de porcentaje o el área de un círculo. Las fórmulas son especialmente comunes en geometría; revisaremos algunas de las fórmulas en esta lección. En muchos problemas de la vida cotidiana, tienes que escribir tu propia ecuación y luego despejar la incógnita.

Ejemplo A

El área de la superficie de un cubo se obtiene mediante la fórmula $Surface Area=6x^2$ , donde $x=$ lado del cubo. Determina el área de la superficie de un dado de 2 pulgadas de largo.

Solución:

Ya que $x=2$ en este problema, sustituimos ese valor en la fórmula del área de la superficie.

$& \text{Surface Area}=6x^2\\\& \text{Surface Area}=6(2)^2\\\& \text{Surface Area}=6\cdot 4=24$

El área de la superficie es 24 pulgadas cuadradas.

Ejemplo B

Una resma de 500 hojas de papel para copia mide 1,75 pulgadas de alto. La bandeja de papel en una fotocopiadora comercial acepta una resma de 2 pies de altura.¿Cuántas hojas la fotocopiadora acepta aproximadamente?

Solución:

En esta situación, escribiremos una ecuación utilizando una proporción.

$\frac{\text{number of sheets}}{\text{height}}=\frac{\text{number of sheets}}{\text{height}}$

Necesitamos que las alturas tengan las mismas unidades, por lo que buscaremos cuántas pulgadas hay en 12 pies. Ya que en 1 pie hay 12 pulgadas, entonces 2 pies equivalen a 24 pulgadas.

$&\frac{500}{1.75}=\frac{\text{number of sheets}}{24}\\\& \frac{500}{1.75} \times 24=\frac{\text{number of sheets}}{24} \times 24\\\& 6857.14\approx\text{number of sheets}\\\$

Una resma de papel de 2 pies de alto tendrá aproximadamente 6857 hojas.

Ejemplo C

El volumen de un cono se obtiene con la fórmula $\text{Volume} = \frac{\pi r^2 (h)}{3}$ , en la que $r=$ el radio , y $h=$ la altura del cono . Determina la cantidad de líquido que puede almacenar un cono de papel que tiene un diámetro de 1,5 pulgadas y una altura de 5 pulgadas.

Solución:

Queremos sustituir las variables por valores. Pero primero, se nos da el diámetro, así tenemos que encontrar el radio. El radio es la mitad del diámetro, por lo tanto $1.5 \div 2=1.5 \times \frac{1}{2}=0.75.$ $&\text{Volume} = \frac{\pi r^2 (h)}{3}\\\&\text{Volume} = \frac{\pi (0.75)^2 (5)}{3}\\\$

Evaluamos la expresión en nuestra calculadora, utilizamos $\pi \approx 3.14.$

$\text{Volume} \approx 2.94$

El volumen del cono es de aproximadamente 2,94 pulgadas cúbicas. El valor es aproximado porque utilizamos una aproximación de $\pi.$

Video de Repaso

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Práctica guiada

Un arquitecto está diseñando una habitación cuyo largo será el doble del ancho. El total del área de la habitación será de 722 pies cuadrados.¿Cuáles son las dimensiones, en pies, de la habitación?

Hay una fórmula que se aplica muy bien en esta situación. La fórmula para el área de un rectángulo es $A=l(w)$ , donde $l=$ largo y $w=$ ancho . A partir del problema, sabemos que el largo es el doble del ancho. Si traducimos lo anterior a una ecuación algebraica, obtenemos:

$A=(2w)w$

Simplifica la ecuación: $A=2w^2$

Sustituye el valor de la incógnita por $A$ : $722=2w^2$

$2w^2 & = 722 && \text{Divide both sides by} \ 2. \\\w^2 & = 361 && \text{Take the square root of both sides}. \\\ w & = \sqrt{361} = 19 \\\2w & = 2 \times 19 = 38 \\\w & = 19$

El ancho mide19 pies y el largo mide 38 pies.

Práctica

En el siguiente video se encuentran disponibles explicaciones de ejemplo para algunos de los ejercicios de práctica. Debes notar que no siempre coinciden los números de ejercicio en el video con los de la siguiente actividad. Sin embargo, el ejercicio es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Word Problem Solving 3 (11:06)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Patricia está construyendo un cajón de arena para su hija;lo hará de 5 pies de ancho y 8 pies de largo. Ella desea que la altura del cajón de arena sea de 4 pulgadas más que la altura de la arena y cuenta con 30 pies cúbicos de arena.¿Qué tan alto debería ser el cajón de arena?
Era día de descuentos en Macy y todo valía un 20% menos que el precio normal. Peter compró un par de zapatos y, al utilizar un cupón, obtuvo un 10% de descuento adicional sobre el precio ya rebajado. El precio que pagó por los zapatos fue $36. ¿Cuánto costaban los zapatos originalmente?
Peter está pensando mostrar un video a la escuela en la graduación, pero le preocupa que la distancia de los parlantes a los asientos de la audiencia provocarán que el sonido y la imagen no estén sincronizados. Si la audiencia se sienta a 20 metros de los parlantes, ¿cuánto retraso habrá entre la imagen y el sonido? (La velocidad del sonido en el aire es de 340 metros por segundo).
Rosa ha ahorrado todo el año y desea gastar el dinero en ropa nueva y vacaciones. Gastará 30% más en vacaciones que en ropa. Si tiene $1000 en total ¿cuánto dinero (al dólar entero más cercano) puede gastar en las vacaciones?
En un DVD, los datos son almacenados entre un radio de 2,3 cm y 5,7 cm. Calcula el área total disponible para almacenar datos en centímetros cuadrados.
Si un disco Blu-ray $^{TM}$ almacena 25 gigabytes (GB) ¿cuál es la densidad de almacenamiento en GB por centímetro cuadrado?
El volumen de un cono se obtiene con la fórmula $Volume = \frac{\pi r^2 (h)}{3}$ , en la que $r=$ el radio , y $h=$ la altura del cono . Determina la cantidad de líquido que puede almacenar un cono de papel con un diámetro de 1,5 pulgadas y una altura de 5 pulgadas.
Considera la conversión $1 \ meter = 39.37 \ inches$ . ¿Cuántas pulgadas hay en un kilómetro?(Pista: un kilómetro equivale a 1.000 metros)
La motocicleta de Yanni viaja a $108 \ miles/hour$ . $1 \ mph = 0.44704 \ meters/second$ . ¿Cuántos metros viajó Yanni en 45 segundos?
El área de un rectángulo está dada por la fórmula $A=l(w)$ . Un rectángulo tiene un área de 132 centímetros cuadrados y una longitud de 11 centímetros.¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

Repaso mixto

Escribe la siguiente razón en su forma más simple: 14:21.
Escribe la siguiente razón en su forma más simple: 55:33.
Despeja $a:\ \frac{15a}{36} = \frac{45}{12}$ .
Despeja $x:\ \frac{4x+5}{5} = \frac{2x+7}{7}$ .
Despeja $x:\ 4(x-7)+x = 2$ .
¿Cuál es el 24% de 96?
Resuelve la suma: $4 \frac{2}{5}- \left (- \frac{7}{3} \right )$ .

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