Gráficas en el plano cartesiano

En esta Sección, aprenderás a encontrar las coordenadas de puntos que han sido representados en un plano cartesiano y a ubicar puntos dadas las coordenadas.

Imagina que cada año vas al doctor para un examen físico de rutina. Cada año, el doctor mide en latidos por minuto tu frecuencia cardiaca en reposo y registra esta información. Para ver cómo ha cambiado tu frecuencia cardiaca en reposo a través del tiempo, tú quieres poner los datos en un plano cartesiano. ¿Podrías hacerlo? O ¿qué pasaría si el doctor ya lo hizo por ti? ¿Podrías mirar los puntos y determinar cuál era tu frecuencia cardiaca en reposo cada año? Después de completar esta Sección, podrás desarrollar actividades como éstas.

Orientación

El plano cartesiano

En una Sección anterior, graficaste pares ordenados. Esta Sección ampliará tu conocimiento sobre la gráfica de pares ordenados con el fin de incluir vocabulario y la denominación de elementos específicos relacionados con pares ordenados.

A un par ordenado también se le llama coordenada . El valor $y-$ recibe el nombre de ordenada y el valor $x-$ el nombre de abscisa.

Una coordenada bidimensional (2D) es de la forma $(x,y)$ .

El plano bidimensional que se utiliza para graficar coordenadas o ecuaciones se denomina plano cartesiano o plano de coordenadas. Este plano recibe el nombre de su creador, Rene Descartes. Dos ejes dividen el plano cartesiano en cuatro cuadrantes . El eje horizontal es llamado $x-$ eje y el eje vertical es llamado $y-$ eje . Los cuadrantes son denominados con números romanos. La siguiente imagen ilustra las denominaciones de los cuadrantes.

El primer valor del par ordenado es el $x-$ valor . Este valor se mueve a lo largo del eje $x-$ (horizontalmente). El segundo valor del par ordenado es el $y-$ valor . Este valor se mueve a lo largo del eje $y-$ (verticalmente). Este par ordenado proporciona la dirección de la coordenada.

Enlace multimedia: Para más información acerca del plano cartesiano y cómo graficar pares ordenados, visita el sitio web de Purple Math - http://www.purplemath.com/modules/plane.htm .

Ejemplo A

Encuentra las coordenadas de los puntos $Q$ y $R$ .

Solución: con el fin de obtener $Q$ , nos movemos tres unidades hacia la derecha $x$ , en dirección positiva del eje $y$ . Luego dos unidades hacia abajo, en dirección negativa del eje . La coordenada $x-$ de $Q$ e s +3; $y-$ la coordenada $Q$ de ess –2.

$Q=(3,-2)$

Las coordenadas de $R$ se encuentran de forma similar. La coordenada $x-$ es +5 (cinco unidades en dirección positiva del eje $x$ ). La coordenada $y-$ es –2 (dos unidades en dirección negativa del eje $y$ ).

$R=(5,-2).$

Consejos acerca de la representación gráfica en el plano

No todos los ejes estarán etiquetados. En varias ocasiones se te pedirá etiquetar tus propios ejes. Algunos problemas pueden pedirte que grafiques sólo el primer cuadrante. Otros ocuparán dos o los cuatro cuadrantes. Los puntos de referencia no siempre van de uno en uno, pueden ir aumentando en 2,5 o incluso $\frac{1}{2}$ . ¡Los ejes incluso no necesitan tener los mismos incrementos! El siguiente plano cartesiano ejemplifica esta idea.

Los incrementos que utilizas para contar en tus ejes deben MAXIMIZAR la claridad del gráfico.

En Secciones anteriores, aprendiste las palabras de vocabulario relación, función, dominio y rango.

Una relación es un conjunto de pares ordenados.

Una función es una relación en la que cada coordenada $x-$ se empareja exactamente con una coordenada $y-$ .

El conjunto de todas las coordenadas $x-$ posibles es el dominio.

El conjunto de todas las coordenadas $y-$ posibles es denominado rango.

Ejemplo B

Graficación de tablas y reglas dadas

Si mantienes un registro de la cantidad de dinero que ganas por trabajar de niñera en diferentes horarios, has creado una relación. Puedes graficar la información en esta tabla para visualizar la relación entre estas dos variables.

$& \text{Hours} && 4 && 5 && 10 && 12 && 16 && 18\\\& \text{Total \$} && 12 && 15 && 30 && 36 && 48 && 54$

El dominio de la situación sería todos los números reales positivos . Puedes trabajar de niñera por una cantidad de tiempo fraccionaria, pero no por una cantidad negativa. El dominio también sería todos los números reales positivos . Puedes ganar dinero en fracción, pero no dinero negativo.

Ejemplo C

Si lees un libro y puedes leer veinte páginas en una hora, existe una relación entre las horas que lees y la cantidad de páginas leídas. Quizás incluso sepas que puedes escribir la fórmula como:

$n & = 20 \cdot h && n = \text{number of pages;} && h = \text{time measured in hours. OR...}\\\h & = \frac{n}{20}$

Para graficar esta relación, puedes hacer una tabla. Tomando valores para el número de horas, puedes determinar el número de páginas leídas. Si graficas estas coordenadas, puedes visualizar la relación.

Horas	Páginas
1	20
1.5	30
2	40
3.5	70
5	100

Esta relación parece formar una línea recta. Por lo tanto, la relación entre el número total de páginas leídas y el número de horas se puede llamar lineal . Las siguientes lecciones se centran en el estudio de las relaciones lineales.

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Grafica los siguientes puntos y determina sus coordenadas:

1. 3 hacia la izquierda y 5 hacia abajo.

2. 4 hacia arriba y 1 hacia la izquierda.

3. 2 hacia la derecha y 2 hacia abajo.

Solución:

El punto amarillo es el origen, desde donde comienzas. Sigue las instrucciones, llega al punto rojo (-3,-5), al punto azul (-1,4) y al punto verde (2,-2).

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: The Coordinate Plane (6:50)

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*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

En las preguntas 1 – 6, identifica las coordenadas de cada letra.

Grafica los siguientes pares ordenados en un plano cartesiano. Identifica el cuadrante en el que está ubicado cada par ordenado.

(4, 2)
(–3, 5.5)
(4, –4)
(–2, –3)
$\left (\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right )$
(–0.75, 1)
$\left (-2\frac{1}{2}, -6\right )$
(1.60, 4.25)

En los ejercicios 15 – 22, utilizando las direcciones dadas en cada ejercicio, encuentra y grafica las coordenadas en un plano cartesiano. Las direcciones indican qué tan lejos debería estar el punto desde su origen.

Seis a la izquierda, cuatro hacia abajo.
Medio hacia la derecha, medio hacia arriba.
Tres hacia la derecha, cinco hacia abajo.
Nueve hacia la izquierda, siete hacia arriba.
Cuatro y medio hacia la izquierda, tres hacia arriba.
Ocho hacia la derecha, dos hacia arriba.
Uno hacia la izquierda, uno hacia abajo.
Uno hacia la derecha, tres cuartos hacia abajo.
Ubica los vértices del triángulo $ABC:(0, 0),(4, -3),(6, 2)$ .
Los siguientes tres puntos son tres vértices de un cuadrado $ABCD$ . Ubícalos en un plano cartesiano y luego determina cuál sería la coordenada del cuarto punto, $D$ , Ubica ese cuarto punto y etiquétalo. $A(-4,-4) \ B(3,-4) \ C(3,3)$
¿Se ubica el par ordenado (2, 0) en un cuadrante? Explica por qué.
¿Por qué crees que el punto (0, 0) se denomina origen?
Becky tiene un paquete grande de chocolates M&Ms que ella sabe que debe compartirlo con Jaeyun. Jaeyun tiene un paquete de dulces Starburst. Becky le dice a Jaeyun que por cada paquete de dulces Starburst que él le dé, ella le dará tres chocolates M&Ms. Si es el número de paquetes de dulces Starburst que Jaeyun le da a Becky e es el número de chocolates M&Ms que Jaeyun obtiene a cambio, completa la siguiente información.
1. Escribe una regla algebraica para $y$ en términos de $x$ .
2. Haz una tabla de valores para $y$ con valores de $x$ : 0, 1, 2, 3, 4, 5.
3. Ubica la función que une $x$ e $y$ en la siguiente escala $0 \le x \le 10,0 \le y \le 10$ .
Considera la regla: $y=\frac{1}{4} x+8$ . Haz una tabla y luego grafica la relación.
Ian tiene los siguientes datos. Grafica los pares ordenados y saca una conclusión del gráfico.

Año	% de hombres con trabajo en Estados Unidos
1973	75.5
1980	72.0
1986	71.0
1992	69.8
1997	71.3
2002	69.7
2005	69.6
2007	69.8
2009	64.5