Encontrar intersecciones mediante sustitución

En esta Sección, aprenderás a utilizar la sustitución para encontrar las intersecciones de una recta de forma que puedas graficar una ecuación lineal.

Imagina que el número de galones de gas en el estanque de un auto depende del número de millas conducidas y puede ser representado con una ecuación lineal. Sabes cuánto gas hay en el estanque cuando se han conducido 0 millas y también sabes después de cuántas millas te quedarán 0 galones en el estanque. ¿Podrías graficar la ecuación lineal? En esta Sección, aprenderás a graficar ecuaciones en situaciones como ésta, donde ya conoces las intersecciones.

Orientación

Cómo ya habrás visto en la sección anterior, graficar soluciones para una ecuación con dos variables puede demorar. Afortunadamente, existen varias formas de graficar soluciones más fácilmente. Esta Sección se enfocará en graficar una recta a partir de sus intersecciones. Una Sección posterior te mostrará cómo graficar una recta utilizando su pendiente y el intercepto en el eje $y-$ .

En geometría, hay una teoría que dice “dos puntos determinan una recta”. Por lo tanto, para dibujar una recta, sólo necesitas dos puntos. Una forma de hacerlo es encontrar sus intersecciones .

Una intersección es el punto en el que una ecuación graficada corta un eje.

La $x-$ intersección con el eje $x-$ es un par ordenado en el que una recta corta al eje. Su par ordenado es de la forma $(x,0)$ .

La $y-$ intersección con el eje $y-$ es un par ordenado en el que una recta corta al eje. Su par ordenado es de la forma $(0,y)$ .

Al encontrar las intersecciones de una ecuación, puedes graficar rápidamente todas las posibles soluciones de la ecuación.

Encontrar intersecciones mediante la sustitución

Recuerda que el método sustitución permite reemplazar una variable por un valor numérico u otra expresión. Puedes utilizar este método para ayudarte a encontrar las intersecciones de una ecuación.

Ejemplo A

Grafica $2x+3y=-6$ utilizando sus intersecciones. .

Solución: el par ordenado de la intersección con el eje $x-$ es $(x,0)$ . Por lo tanto, la coordenada $y-$ tiene un valor de cero. Sustituyendo el cero por la variable de $y$ , la ecuación se convierte en:

$2x+3(0)=-6$

A continuación, despeja $x$ :

$2x+0& =-6\\\2x& =-6\\\x& =-3$

El par ordenado de la intersección con el eje $x-$ es (–3, 0).

Repite el proceso para encontrar la intersección con el eje $y-$ . El par ordenado de la intersección con el eje $y-$ es $(0,y)$ . Utilizando la sustitución:

$2(0)+3y& =-6\\\3y& =-6\\\y& =-2$

El par ordenado de la intersección con el eje $y-$ es (0, –2).

Para graficar la recta formada por las soluciones de la ecuación $2x+3y=-6$ , grafica las dos intersecciones y únelas con una línea recta.

Ejemplo B

Grafica $4x-2y=8$ utilizando sus intersecciones. .

Solución: determina la intersección con el eje $x-$ utilizando cero para la variable $y$ .

$4x-2(0)& =8\\\4x& =8\\\x& =2$

El par ordenado de la intersección con el eje $x-$ es (2, 0). Si repites este proceso, encontrarás que el intercepto con el eje $y-$ tiene el par ordenado (0, –4). Grafica ambos pares ordenados y únelos con una recta.

Ejemplo C

Grafica $x-2y=10$ utilizando intersecciones.

Solución:

Primero, encuentra las intersecciones sustituyendo $x$ e $y$ por cero:

$\text{Substitute in zero for x.} && (0)-2y &=10 \\\\text{Simplify.} && -2y&=10 \\\\text{Solve for y.}&& y&=-5$

Esto significa que la intersección con el eje $y$ se encuentra en el punto (0,-5).

$\text{Substitute in zero for y.} && x-6(0) &=10 \\\\text{Solve for x.}&& x&=10$

Esto significa que la intersección con el eje $x$ se encuentra en el punto (10,0).

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Encuentra las intersecciones y utilízalas para graficar $y=-2x+8$ .

Solución:

Sustituye $x$ e $y$ , por cero para encontrar las intersecciones.

$\text{Substitute in zero for x.} && y&=-2(0)+8 \\\\text{Solve for y.}&& y&=8$

Esto significa que la intersección con el eje $y$ se encuentra en el punto (0,8).

$\text{Substitute in zero for y.} && 0&=-2x+8 \\\\text{Solve for x.}&& x&=4$

Esto significa que la intersección con el eje $x$ se encuentra en el punto (4,0).

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Graficaing Using Intercepts (12:18)

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*Este video se encuentra disponible sólo en inglés.

Define intersección .
¿Cuál es el par ordenado que interseca con el eje $x-$ ?

Encuentra las intersecciones para las siguientes ecuaciones utilizando el método de la sustitución.

$y=3x-6$
$y=-2x+4$
$y=14x-21$
$y=7-3x$

¿Qué intersección tiene una recta vertical?
¿Se interseca la ecuación $y=5$ con el eje $x-$ y con el eje $y-$ . Explica tu respuesta.
Escribe una ecuación que sólo tenga una intersección con el eje $x-$ en (–4, 0).
¿Cuántas ecuaciones pueden formarse con sólo una intersección en (0, 0)? Pista: dibuja una imagen para ayudarte.

Repaso mixto

Para los ejercicios 11 y 12, determina si cada par ordenado satisface la ecuación.

$5x+2y=23;(7,-6)$ y (3, 4)
$3a-2b=6;(0,3)$ y $\left (\frac{5}{3},\frac{-1}{2}\right )$ .
Grafica las soluciones para la ecuación $x=-5$ .
Resuelve: $\frac{4}{5} k-16=-\frac{1}{4}$ .
¿Es la siguiente relación una función? $\left \{(-1,1),(0,0),(1,1),(2,3),(0,6)\right \}$
Utilizando un conjunto finito de números contables, números enteros o enteros, ¿cómo describirías el dominio de la siguiente situación: el número de donuts compradas en una cafetería en un día específico?
Encuentra la variación porcentual: precio antiguo = $1,299; precio nuevo = $1,145.

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