Pendiente

En esta Sección, aprenderás a analizar el cambio vertical y horizontal para que puedas calcular la pendiente de una recta.

Imagina que tienes un avión de juguete y que después de despegar, se eleva 5 pies por cada 6 pies que se desplaza de forma horizontal. ¿Cuál sería la pendiente de su ascenso? ¿Tendría la pendiente un valor positivo o negativo? En esta Sección, aprenderás a determinar la pendiente de una recta analizando el cambio vertical y horizontal de manera que puedas resolver problemas como éste.

Orientación

La inclinación de un techo, de una escalera apoyada en una pared, de un camino e incluso de tu trotadora son todos ejemplos de pendiente.

La pendiente de una recta mide su inclinación (ya sea negativa o positiva).

Por ejemplo, si alguna vez haz conducido por un terreno montañoso, puede que hayas visto una señal que decía “inclinación 10%”. El porcentaje te indica que tan empinada es la inclinación. Probablemente también lo hayas visto en una máquina trotadora. La inclinación en una máquina trotadora mide que tan empinado estás caminando cuesta arriba. A continuación, se proporciona una definición más formal de pendiente.

La pendiente de una recta es el cambio vertical dividido por el cambio horizontal.

En la siguiente figura, un auto está comenzando a subir un cerro. La altura del cerro es de 3 metros y su longitud es 4 metros. Utilizando la definición anterior, la pendiente de este cerro puede ser escrita como $\frac{3 \ meters}{4 \ meters}=\frac{3}{4}$ . Debido a que $\frac{3}{4}=75\%$ , podemos decir que este cerro tiene una inclinación positiva de 75%.

De manera similar, si el auto comienza a descender el cerro, aún puedes determinar la pendiente.

$Slope=\frac{vertical \ change}{horizontal \ change}=\frac{-3}{4}$

La pendiente en este caso es negativa porque el auto está bajando del cerro.

Otra forma de considerar la pendiente es: $slope=\frac{rise}{run}$ .

Cuando graficas una ecuación, la pendiente es una herramienta muy útil. Te entrega las direcciones de cómo llegar desde un par ordenado a otro. Para determinar la pendiente, es útil dibujar un triángulo de pendiente .

Utilizando el siguiente gráfico, escoge dos pares ordenados que tengan valores enteros tales como (–3, 0) y (0, –2). Ahora dibuja el triángulo de pendiente conectando estos dos puntos como se muestra a continuación.

El lado vertical del triángulo representa la elevación de la recta y el lado horizontal representa el avance de la recta. Una tercera forma de representar la pendiente es la siguiente:

$slope=\frac{rise}{run}$

Comenzando por la coordenada que está más a la izquierda, cuenta el número de unidades verticales y horizontales que se necesitan para llegar a la coordenada que está más a la derecha.

$slope=\frac{rise}{run}=\frac{-2}{+3}=-\frac{2}{3}$

Ejemplo A

Encuentra la pendiente de la recta graficada a continuación.

Solución: comienza por encontrar dos pares de pares ordenados con valores enteros: (1, 1) y (0, –2).

Dibuja el triángulo de pendiente.

Cuenta el número de unidades verticales para llegar desde el par ordenado de la izquierda al de la derecha.

Cuenta el número de unidades horizontales para llegar desde el par ordenado de la izquierda al par ordenado de la derecha.

$Slope=\frac{rise}{run}=\frac{+3}{+1}=\frac{3}{1}$

Una forma más algebraica de determinar una pendiente es utilizar una fórmula. La fórmula de una pendiente es:

La pendiente entre dos puntos cualquiera $(x_1,y_1 )$ y $(x_2,y_2)$ es: $slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

$(x_1,y_1)$ representa uno de los dos pares ordenados y $(x_2,y_2)$ representa el otro. El siguiente ejemplo ayuda a ejemplificar esta fórmula.

Ejemplo B

Utilizando la fórmula de la pendiente, determina la pendiente de la ecuación graficada en el ejemplo A.

Solución: usa los pares ordenados enteros que se usaron para formar el triángulo de pendiente: (1, 1) y (0, –2). Ya que (1, 1) está escrito primero, puede ser llamado $(x_1,y_1)$ . Por lo que $(0,-2)=(x_2,y_2)$

Utiliza la fórmula: $slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2-1}{0-1}=\frac{-3}{-1}=\frac{3}{1}$

Como puedes ver, la pendiente es la misma, independiente del método que utilices. Si los pares ordenados son fracciones o están muy separados, es más fácil utilizar la fórmula que dibujar un triángulo de pendiente.

Tipos de pendientes

Existen cuatro tipos diferentes de pendientes: negativa, cero, positiva e indefinida. El primer gráfico de esta Sección tenía una pendiente negativa. El segundo gráfico tenía una pendiente positiva. Las pendientes con inclinación cero son rectas sin ninguna inclinación y las indefinidas no pueden ser calculadas.

Cualquier recta con una pendiente cero será una recta horizontal y tendrá una ecuación $y = some \ number$ .

Cualquier recta con una pendiente indefinida será una recta vertical y tendrá una ecuación $x = some \ number$ .

Se utilizarán los siguientes dos gráficos para ejemplificar las definiciones anteriores.

Ejemplo C

Para determinar la pendiente de una recta $A$ , necesitas hallar dos pares ordenados con valores enteros.

(–4, 3) y (1, 3). Escoge un par ordenado para representar $(x_1,y_1)$ y otro para representar $(x_2,y_2)$ .

Ahora aplica la fórmula: $slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-3}{1-(-4)}=\frac{0}{1+4}=0$ .

Para determinar la pendiente de una recta $B$ , necesitas encontrar dos pares ordenados con valores enteros y aplicar la fórmula.

(5, 1) y (5, –6)

$slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-6-1}{5-5}=\frac{-7}{0}=Undefined$

No se puede dividir por cero, así que la pendiente de la recta $B$ no puede ser determinada, por lo tanto, se le denomina indefinida .

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Encuentra la pendiente de cada recta en el siguiente gráfico:

Solución:

Para cada recta, identifica dos pares ordenados y utilízalos para calcular la pendiente.

Para la recta verde, una opción es $(0, 2)$ y $(5, 0)$ . El resultado es una pendiente de:

$\text{slope}=\frac{0-2}{5-0}=-\frac{2}{5}$

Para la recta azul, una opción es $(6, 1)$ y $(7, 1)$ . El resultado es una pendiente de:

$\text{slope}=\frac{1-1}{7-6}=\frac{0}{1}=0$

Pueden verse las pendientes en este gráfico:

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Slope and Rate of Change (13:42)

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*Este video se encuentra disponible sólo en inglés.

Define pendiente .
Describe los dos métodos utilizados para encontrar una pendiente. ¿Cuál prefieres? ¿Por qué?
¿Cuál es la pendiente de todas las rectas verticales? ¿Por qué ese enunciado es verdadero?
¿Cuál es la pendiente de todas las rectas horizontales? ¿Por qué ese enunciado es verdadero?

Utilizando las coordenadas graficadas, encuentra la pendiente de cada recta.

En los ejercicios 8 – 20, encuentra la pendiente entre los dos puntos dados.

(–5, 7) y (0, 0)
(–3, –5) y (3, 11)
(3, –5) y (–2, 9)
(–5, 7) y (–5, 11)
(9, 9) y (–9, –9)
(3, 5) y (–2, 7)
$\left (\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right )$ y (–2, 6)
(–2, 3) y (4, 8)
(–17, 11) y (4, 11)
(31, 2) y (31, –19)
(0, –3) y (3, –1)
(2, 7) y (7, 2)
(0, 0) y $\left (\frac{2}{3},\frac{1}{4}\right )$
Determina la pendiente de $y=16$ .
Determina la pendiente de $x=-99$ .

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