Tasas de cambio

En esta Sección, aprenderás el significado de tasa de cambio, también aprenderás a calcularla y a hacer predicciones basadas en ésta.

¿Qué pasaría si 1 semana antes de abrir, un gimnasio tuviera 20 miembros; 2 semanas antes de abrir, 40 miembros; y tres semanas después de abrir, 60 miembros? ¿Cómo calcularías la tasa de cambio en el número de miembros del gimnasio? ¿En qué se diferencia de la pendiente? Si este ritmo continúa, ¿cuánto tardará el gimnasio en tener 300 miembros? En esta Sección, aprenderás el significado de tasa de cambio y a cómo calcularla. Además aprenderás a hacer predicciones acerca del futuro basándote en una tasa de cambio con el fin de que puedas responder preguntas acerca de escenarios de la vida cotidiana como es el caso del gimnasio.

Intenta lo siguiente

Enlace multimedia: Para más información relacionada con las tasas de cambio y actividades interactivas sobre este tema, visita el sitio web de NCTM – http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap6/6.2/part2.htm .

Orientación

Encuentra la tasa de cambio:

Cuando buscas la pendiente en situaciones de la vida cotidiana, generalmente se refieren a ésta como tasa de cambio . La “tasa de cambio” significa lo mismo que “pendiente”. Si te piden encontrar la tasa de cambio, utiliza la fórmula de la pendiente o dibuja un triángulo de pendiente.

Ejemplo A

Andrea trabaja medio tiempo en un almacén local. Ella ahorra para sus vacaciones $15 semanales. Encuentra su tasa de cambio.

Solución: comienza por encontrar dos pares ordenados. Puedes hacer una tabla o usar la propiedad de sustitución para encontrar dos coordenadas.

Ejemplo: (2, 30) y (10, 150). Ya que (2, 30) está primero, puede ser $(x_1,y_1)$ . Por lo tanto $(10,150)=(x_2,y_2)$ .

Utiliza la fórmula: $slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{150-30}{10-2}=\frac{120}{8}=\frac{15}{1}$ .

La tasa de cambio de Andrea es $15/1 semana .

Ejemplo B

Una vela tiene una longitud inicial de 10 pulgadas. Treinta minutos después de encenderla, la longitud es 7 pulgadas. Determina la tasa de cambio de la longitud de la vela mientras está encendida. Determina cuánto demora la vela en consumirse completamente.

Solución: comienza por encontrar dos pares ordenados. Al inicio la vela mide 10 pulgadas de longitud. Así que en el tiempo “cero”, la longitud es 10 pulgadas. El par ordenado que representa lo anterior es (0, 10). Treinta minutos después, la vela mide 7 pulgadas, por lo tanto, el par ordenado es (30, 7). Debido a que (0, 10) está escrito primero, se le puede llamar $(x_1,y_1)$ . Esto significa que $(30,7)=(x_2,y_2)$ .

Utiliza la fórmula: $slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-10}{30-0}=\frac{-3}{30}=-\frac{1}{10}$ .

La vela tiene una tasa de cambio de –1 pulgadas /10 minutos . Para encontrar cuánto tiempo demorará la vela en consumirse, puedes crear un gráfico, suponer y verificar o resolver una ecuación.

Puedes crear una tabla para ayudarte a visualizar la situación. Localizando los pares ordenados que se te dieron y dibujando una línea recta que los conecte, puedes estimar que la vela demorará 100 minutos en consumirse.

Ejemplo C

Analiza el siguiente gráfico. Representa un viaje hecho por un camión repartidor en un día específico. Durante el día, el camión hizo dos entregas; cada una le tomó una hora. El conductor también se tomó una hora para almorzar. Identifica qué es lo que pasa en cada etapa del viaje (desde la etapa $A$ hasta la $E$ ).

Distancia recorrida por el camión en función del tiempo.

Éste es el viaje que hizo el conductor.

A. El camión parte y viaja 80 millas en dos horas.

B. El camión no avanza por 1 hora.

C. El camión recorre $(120 - 80) = 40$ millas en una hora.

D. El camión no avanza por 2 horas.

E. El camión recorre 120 millas en dos horas.

Solución: para identificar lo que está pasando en cada parte del viaje del conductor, se te pide encontrar cada una de las tasas de cambio.

La tasa de cambio de un segmento $A$ se puede encontrar utilizando tanto la fórmula de la pendiente como el triángulo de pendiente. Utilizando el triángulo de pendiente, $vertical \ change=80$ y $horizontal \ change=2$ .

$slope=\frac{rise}{run}=\frac{80 \ miles}{2 \ hours}= 40 \ miles/1 \ hour$ .

Los segmentos $B$ y $D$ son rectas horizontales y cada uno tiene una pendiente de cero.

La tasa de cambio de un segmento $C$ si se aplica la fórmula de la pendiente: $\text{Rate of change} = \frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{(120-80) \ miles}{(4-3) \ hours}= 40 \ \text{miles per hour}$ .

La tasa de cambio de un segmento $E$ si se aplica la fórmula de la pendiente: $\text{Rate of change} = \frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{(0-120) \ miles}{(8-6) \ hours}= \frac{-120 \ miles}{2 \ hours}=-60 \ \text{miles per hour}$ . El camión se mueve a una velocidad negativa de 60 mph. Una mejor forma de decirlo es que el camión está regresando a casa a una velocidad de 60 mph .

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Adel gastó $125 en mercadería en una semana. Utiliza esta información para predecir cuánto gastará Adel en mercadería en un mes si continúa comprando la misma cantidad.

Solución:

La tasa semanal de Adel es $125 por semana. Debido que un mes tiene alrededor de 4 semanas, multiplica $125/semana por 4 semanas:

$\frac{\$125}{1 \text{ week}} \cdot 4 \text{ weeks}= \frac{\$125}{1 \cancel{\text{ week}}} \cdot 4 \cancel{\text{ weeks}}=\$125\cdot 4=\$500$

Adel gastará unos $500 en mercadería en alrededor de 4 semanas o un mes.

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Slope and Rate of Change (13:42)

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*Este video se encuentra disponible sólo en inglés.

¿Cómo se relaciona la pendiente con la tasa de cambio? ¿En qué se diferencian?

El siguiente gráfico distancia-tiempo muestra un viaje en bicicleta de 3,5 millas que Mark realizó desde su casa a la escuela. Durante este viaje, Mark se desplazó por vías exclusivas para ciclistas, pero el terreno era accidentado. Su velocidad variaba dependiendo de la inclinación de los montículos. Se detuvo una vez en el semáforo y otra vez para reparar una rueda pinchada. Identifica lo que ocurre en cada sección del gráfico según la información entregada.

Cuatro horas después de salir de casa, Sheila había viajado 145 millas. Tres horas más tarde, ella había viajado 300 millas. ¿Cuál fue su tasa de cambio?
Jenna gana $60 cada $2\frac{1}{2} \ weeks$ . ¿Cuál es su tasa de cambio?
Geoffrey tiene una tasa de cambio de 10 pies /1 segundo . Escribe una situación que podría adecuarse a esta pendiente.

Repaso mixto

Encuentra las intersecciones de $3x-5y=10$ .
Grafica la recta $y=-6$ .
Dibuja una recta con una pendiente negativa y que pase por el punto (3, 1).
Dibuja un gráfico para representar la cantidad de combinaciones de cuartos y monedas de diez centavos que equivalen a $4,00.
Cuál es el dominio y el rango de los siguientes puntos: $\left \{(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,2)\right \}$ ?
Despeja $y: 16y-72=36$ .
Describe el proceso utilizado para resolver una ecuación como: $3x+1=2x-35$ .
Resuelve la proporción: $\frac{6}{a}=\frac{14}{2a+1}$ .

Prueba rápida

Encuentra las intersecciones de $3x+6y=25$ y grafica la ecuación.
Encuentra la pendiente entre (8, 5) y (–5, 6).
Grafica $f(x)=2x+1$ .
Grafica el par ordenado con las siguientes direcciones: 4 unidades al oeste y 6 unidades al norte desde el origen.
Utilizando el gráfico a continuación, haz una lista de dos “tendencias” acerca de estos datos. Una tendencia es algo que puedes concluir sobre la información dada.

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