Variación directa

En esta Sección, aprenderás el significado de variación y a calcular la constante de proporcionalidad.

Imagina que el salario anual de una persona es directamente proporcional al número de años que él o ella ha estado en la escuela. ¿Qué crees que significa esta información? ¿Podrías determinar la constante de proporcionalidad? ¿Qué información necesitarías para hacerlo? Si tuvieras que escribir una ecuación lineal para representar esta relación, ¿cuál sería la pendiente y el intercepto en $y-$ . En esta Sección, aprenderás todo acerca de la variación directa para que puedas responder este tipo de preguntas.

Variación directa

En el mercado de agricultores local, viste a una persona comprar 5 libras de frutillas por $12,50. Tú también quieres comprar frutillas, pero quieres llevar 2 libras. ¿Cuánto esperas pagar?

Esta situación es un ejemplo de una variación directa . Esperarías que las frutillas tuvieran un precio “por libra”, entonces si compras dos quintos de frutillas, pagarías dos quintos de $12,50 por éstas o $5,00. Igualmente, si compras 10 libras de frutillas (el doble), pagarías $25,00 (el doble de $12,50) y si no compras frutillas, no pagarías nada.

La variación directa puede ser expresada con la ecuación $y=(k)x$ , donde $k$ recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

La variación directa ocurre cuando:

La fracción $\frac{rise}{run}$ o $\frac{change \ in \ y}{change \ in \ x}$ es siempre la misma y
El par ordenado (0, 0) es una solución de la ecuación.

Ejemplo A

Si $y$ varía directamente con respecto de $x$ de acuerdo con la relación $y=k \cdot x$ , y $y=7.5$ cuando $x=2.5$ , determina la constante de proporcionalidad, $k$ .

Solución: podemos resolver la constante de proporcionalidad utilizando la sustitución.

Sustituye $x=2.5$ e $y=7.5$ en la ecuación $y=k \cdot x$ .

$7.5 & = k(2.5) && \text{Divide both sides by} \ 2.5.\\\\frac{7.5}{2.5}& =k=3$

La constante de variación (o constante de proporcionalidad) es 3.

Puedes usar esta información para graficar esta situación de variación directa. Recuerda que todas las situaciones de variación directa pasan por el origen. Puedes ubicar el par ordenado (0, 0) y usar la constante de variación como tu pendiente.

Ejemplo B

Explica por qué las siguientes ecuaciones no son ejemplos de variación directa.

$y& =\frac{2}{x}\\\y& =5x-1\\\2x+y& =6$

Solución: en la ecuación 1, la variable se encuentra en el denominador de la fracción, por lo que no cumple con la definición.

En la ecuación 2, existe un intercepto en $y-$ de –1, por lo tanto no se cumple con la definición.

En la ecuación 3, existe un intercepto en $y-$ , lo que no se cumple con la definición.

Traducir una oración a una ecuación de variación directa

Las ecuaciones de variación directa utilizan la misma frase para darle al lector una pista. La frase puede ser “directamente proporcional” o “varía directamente”.

Ejemplo C

El área de un cuadrado varía directamente con respecto al cuadrado de su lado.

Solución: la primera variable con la que te encuentras es “área”. Piensa en ella como tu $y$ . La frase “varía directamente” significa $= (k)\times$ . La segunda variable es “cuadrado de su lado”. Llámalo $s$ .

Ahora tradúcelo a una ecuación: $y=(k)\times s^2$ .

Has escrito tu primera ecuación de variación directa.

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

La distancia a la que viajas es directamente proporcional al tiempo que has estado viajando. Escribe esta situación como una ecuación de variación directa.

Solución:

La primera variable es distancia ; llámala $d$ . La segunda variable es el tiempo que has estado viajando ; llámalo $t$ . Aplica la definición de variación directa:

$d=(k) \times t$

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Direct Variation Models (11:11)

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*Este video se encuentra disponible sólo en inglés.

Describe variación indirecta.
¿Cuál es la fórmula para la variación indirecta? ¿Qué representa $k$ ?

Traduce las siguientes situaciones de variación directa a ecuaciones. Escoge letras adecuadas para representar las cantidades que varían.

La cantidad de dinero que ganas es directamente proporcional al número de horas que trabajas.
El peso de un objeto en la luna varía directamente con su peso en la Tierra.
El volumen de un gas es directamente proporcional a su temperatura en grados Kelvin.
El volumen de un gas es directamente proporcional a su temperatura en grados Kelvin.
La cantidad de una compra varía directamente con respecto a la cantidad de libras de duraznos.

Explica por qué estas ecuaciones no son ejemplos de variación directa.

$\frac{4}{x}=y$
$y=9$
$x=-3.5$
$y=\frac{1}{8} x+7$
$4x+3y=1$

Grafica las siguientes ecuaciones de variación directa.

$y=\frac{4}{3}x$
$y=-\frac{2}{3}x$
$y=-\frac{1}{6}x$
$y=1.75x$
¿Es $y=6x-2$ un ejemplo de variación directa? Explica tu respuesta.

Repaso mixto

Grafica $3x+4y=48$ utilizando sus intersecciones.
Grafica $y=\frac{2}{3} x-4$ .
Despeja $u: 4(u+3)=3(3u-7)$ .
¿Son estas rectas paralelas? $y=\frac{1}{2} x-7$ y $2y=x+2$
¿En qué cuadrante se encuentra (–99, 100)?
Encuentra la pendiente entre (2, 0) y (3, 7).
Evalúa si $a=-3$ y $b=4$ : $\frac{1+4b}{2a-5b}$ .

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