Usos de la variación directa

En esta Sección, utilizarás varias fórmulas para resolver problemas de la vida cotidiana sobre la variación directa.

Sabías que para encontrar el flujo de agua que atraviesa una tubería, puedes usar la fórmula $Q=AV$ , donde $Q$ es el flujo de agua, $A$ es el área de una sección transversal de la tubería, y $V$ es la velocidad del agua? Lo anterior significa que si sabes el flujo de agua y el área, puedes encontrar la velocidad; si sabes el flujo de agua y la velocidad, puedes encontrar el área; y si sabes el área y la velocidad, puedes encontrar el flujo del agua. En esta Sección, trabajarás con ecuaciones como ésta para resolver problemas de la vida cotidiana que involucran la variación directa.

Orientación

La variación directa tiene numerosos ejemplos en la vida cotidiana. Hasta ahora has visto tres ejemplos: el área de un cuadrado es directamente proporcional a la longitud de su lado, la distancia que viajas varía directamente con respecto al tiempo que has estado conduciendo y el costo total es directamente proporcional al número de libras de frutillas que compras.

Segunda ley de Newton

En 1687, Isaac Newton publicó la famosa obra Principea Mathematica . Ésta contiene su segunda ley de movimiento que a menudo se escribe como: $F=m \cdot a$ , donde $F=$ la cantidad de fuerza aplicada a un objeto de masa $(m)$ y $a=$ aceleración.

La aceleración se mide en $\text{meters/second}^2$ y la fuerza en Newtons.

Ejemplo A

Una fuerza de 175 Newton causa que un carro de compras muy cargado acelere por un pasillo a $2.5\ m/s^2$ , Calcula la masa del carro de compras.

Solución: este problema básicamente te pide hallar la constante de proporcionalidad. Comparemos las dos fórmulas.

$& y=k \cdot x && \text{The direct variation equation}\\\& F = m \cdot a && \text{Newton's Second law}$

Podemos ver que las dos ecuaciones tienen la misma forma. La variable $y$ es igual a la fuerza y la variable $x$ es igual a la aceleración.

$175=m \cdot 2.5$

Ahora despeja $m$ , la constante de variación.

$\frac{175}{2.5}& =\frac{m \cdot 2.5}{2.5}\\\m& =70$

Ejemplo B

Una fuerza de 175 Newton causa que un carro de compras muy cargado acelere por un pasillo a $2.5\ m/s^2$ , Calcula la fuerza que se necesita para que el mismo carro tenga una aceleración de $6 \ m/s^2$ .

Solución: ahora ya sabes que la constante de variación es 70. En esta fórmula, 70 representa la masa. Para encontrar la fuerza que se necesita para mover el carro con una aceleración de 6 metros / segundo , sustituye $a$ por 6 y evalúa la ecuación.

Cuando $a=6$ , $F=70 \cdot 6=420$ .

La fuerza necesaria para acelerar el carro es de 420 Newtons.

Resolución de variaciones directas utilizando proporciones.

Puedes usar el teorema de la multiplicación cruzada de proporciones para resolver situaciones de variación directa. Debido a que la fracción $\frac{rise}{run}$ es constante en una situación de variación directa, puedes crear una proporción.

Ejemplo C

La ley de Ohm dice que el voltaje $(V)$ es igual a la corriente eléctrica $(I)$ en amperios por la resistencia $(R)$ en ohms. Traducido a una ecuación, $V=I \cdot R$ .

Imagina que por un dispositivo eléctrico pasara una corriente de 1,3 amperes a un voltaje de 2,6 volts. ¿Cuál sería la corriente si el voltaje aumentara a 12 volts?

La ley de Ohm coincide con la definición de variación directa, por lo que puedes escribir una proporción. $\frac{2.6 \ volts}{1.3 \ amps}=\frac{12 \ volts}{I \ amps}$ . Utilizando el teorema de la multiplicación cruzada, encuentra $I$ . $I=6$ . Por lo tanto, cuando el voltaje fue incrementado a 12 volts, el dispositivo electrónico tenía una corriente de 6 amperes.

Repaso en video

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Práctica guiada

Imagina que un auto utiliza 5 litros de gasolina para desplazarse 40 kilómetros. ¿Cuánta gasolina necesitará el auto para desplazarse 128 kilómetros?

Solución:

Éste es un problema de variación directa que involucra una constante que es kilómetros por litro de gasolina. Puedes usar una proporción para resolver este problema. Cuando se establecen las proporciones, tienes que asegurarte de que la misma unidad esté en el mismo lado: arriba, abajo, izquierda o derecha. No puedes ubicar las unidades que son iguales de forma diagonal. Es más fácil si en tu proporción dejas el valor desconocido en el numerador de la fracción. Debido a que estamos buscando los litros, los ubicaremos en el numerador.

$\text{Set up the proportion so that liters are both on top.} && \frac{5\text{ liters}}{40\text{ km}}&=\frac{x\text{ liters}}{128\text{ km}}\\\\text{Isolate the variable.} && 128 \cdot \frac{5}{40}&=x \\\\text{Simplify.} && 16&=x$

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Direct Variation Models (11:11)

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*Este video se encuentra disponible sólo en inglés.

¿Cuáles de los dos métodos se puede usar para resolver un problema de variación directa?
¿Verdadero o falso? ? Cada ecuación lineal es una situación de variación directa.

En los ejercicios 3 – 7, determina la constante de variación en cada ejercicio.

$y$ varía directamente con respecto a $x$ ; cuando $x=4,y=48$
$d$ varía directamente con respecto a $t$ ; cuando $t=7,d=329$
$l$ varía directamente con respecto a $h$ ; cuando $l=112$ , $h=-16$
$m$ es directamente proporcional a $h$ ; cuando $m=461.50$ , $h=89.6$
$z$ es directamente proporcional a $r;$ cuando $r=412,z=51.5$
Determina la ecuación para la compra de frutillas al inicio de esta Sección.
La mamá de Dasan lo llevó a los juegos de video para su cumpleaños. En los primeros 10 minutos, gastó $3,50 jugando juegos. Si puede gastar hasta $20,00, ¿cuánto tiempo puede seguir jugando antes de que se le acabe el dinero?
El estándar actual para duchas de bajo flujo es de 2,5 galones por minuto. Calcula cuánto demorará llenar una bañera de 30 galones utilizando dicha ducha para suministrar el agua.
Por un dispositivo eléctrico pasa una fuerza de 288 volts a 32 amperes. Utilizando la ley de Ohm, determina la siguiente información:
1. La constante de proporcionalidad.
2. La fuerza necesaria para que pasen 65 amperes.
El diámetro de un círculo es directamente proporcional a su radio. Si un círculo con un diámetro de 2 pulgadas tiene una circunferencia de aproximadamente 6,28 pulgadas, ¿Cuál es la circunferencia de un círculo de 15 pulgadas?
Amin está utilizando una manguera para llenar su nueva piscina por primera vez. Comienza a las 10:00 p. m. y deja el agua corriendo toda la noche. A las 6:00 a. m. mide la profundidad y calcula que la piscina está cuatro séptimos llena. ¿A qué hora su nueva piscina estará completamente llena?
Una tierra en Wisconsin está a la venta para inversores inmobiliarios. Un terreno de 232 acres está listo para la venta por $200.500. Considerando el mismo precio por acre, ¿por cuánto se vendería un terreno de 60 acres?
La fuerza necesaria para estirar un resorte hasta una distancia necesaria para estirar un resorte hasta una distancia , donde es la constante del resorte (medida en Newtons por centímetro, N/cm). Si una fuerza de 12 Newton estira cierto resorte en 10 cm, calcula:
1. la constante del resorte, $k$
2. la fuerza necesaria para estirar el resorte 7 cm.
3. cuánto se alargaría el resorte con una fuerza de 23 Newton.
Determina las ecuaciones de las gráficas $a - d$ siguientes.

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