Gráficas de funciones lineales

En esta Sección, aprenderás a graficar una función lineal encontrando la pendiente y el intercepto en $y-$ de una gráfica.

Imagina que la función lineal $f(x)= -0.25x + 10$ representa la cantidad de dinero que te queda para jugar videojuegos, en la que $f(x)$ es el dinero que te queda y $x$ es el número de videojuegos que has jugado hasta ahora. ¿Sabes cómo graficar esta función? ¿Cuál sería la pendiente y el intercepto en $y-$ de la gráfica? En esta Sección aprenderás a graficar una función lineal como la anterior encontrando las pendiente y el intercepto en $y-$ de una gráfica.

Orientación

Puedes ver que en la notación $f(x)=$ y $y=$ son intercambiables. Esto significa que puedes sustituir la notación $y=$ por $f(x)=$ y utilizar todos los conceptos que has aprendido sobre ecuaciones lineales.

Ejemplo A

$\text{Grafica} \ f(x)& =\frac{1}{3}x+1.\\\\text{Replace} \ f(x)& = \text{with} \ y=.\\\y& =\frac{1}{3} x+1$

La ecuación es de la forma pendiente-intercepto. Ahora puedes trazar la función graficando el intercepto en $y-$ y luego utilizando la pendiente como un conjunto de direcciones para encontrar tu segunda coordenada.

Ejemplo B

Grafica $f(x)=\frac{3x+5}{4}$ .

Solución: el primer paso es reescribir la fracción única como dos fracciones distintas.

$f(x)=\frac{3x+5}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{5}{4}$

Ésta ecuación es de la forma pendiente-intercepto. El intercepto en $y-$ está en el par ordenado (0, $\frac{5}{4}$ ) y la pendiente es $\frac{rise}{run}=\frac{3}{4}$ . Comenzando por el intercepto en $y-$ y utilizando la pendiente para encontrar una segunda coordenada, obtienes la gráfica:

Análisis de gráficas de funciones lineales de la vida cotidiana

El gráfico anterior, escrito por T. Barron y S. Katsberg de la Universidad de Georgia ( http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.Folders/Barron/unit/Lesson%204/4.html ), la función de color azul representa una situación de variación directa en la que la constante de variación (o la pendiente ) es 0,30 o 30% de impuesto. Esta variación directa representa un impuesto fijo de 30%.

La recta roja tiene tres pendientes. La primera parte de la recta desde $0 a $15.000 tiene una pendiente de 0,20 o 20%. La segunda parte de la recta desde $15.000 a $45.000 tiene una pendiente de 0,25 o 25%. La pendiente de la parte de la recta que representa un salario mayor a $45.000 es 0,35 o 35%.

Ejemplo C

Imagina que quisieras comparar la cantidad de impuesto que pagarías si tu salario fuera de $60.000. Si la recta azul fuera $blue(s)$ y la recta roja fuera $red(s)$ , entonces evaluarías cada función por $s=60,000$ .

Utilizando el gráfico, $blue(60)=18$ y $red(60)=15$ . Por lo tanto, pagarías más impuestos con el impuesto de la recta azul que con el impuesto de la recta roja. En la siguiente Sección, abordaremos la utilización de gráficos como una estrategia para resolver problemas.

Repaso en video

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Práctica guiada

Un auto utiliza 15 galones de gasolina para conducir por 2,5 horas. Escribe una ecuación para esta función, grafícala y utilízala para responder las preguntas: ¿cuánto combustible utilizaría este auto si fuera conducido por 30 minutos?

Solución:

El auto utiliza un cierto número de galones de gasolina por hora. Ésa es una tasa y si la multiplicas por un cierto número de horas, te indicará cuántos galones se necesitan para conducir esa cantidad de horas. Lo anterior se puede escribir como una función lineal, donde la variable dependiente $f(x)$ es el número de galones. En otras palabras, el número de galones que se necesitan depende del tiempo que es conducido el auto. El tiempo en horas es la variable independiente, $x$ .

La tasa, que es la pendiente, es:

$\frac{rise}{run}=\frac{gallons}{hours}=\frac{15}{2.5}=6.$

La función entonces es:

$f(x)=6x.$

La gráfica se ve de la siguiente manera:

Puedes observar en la gráfica que $f(0.5)=3$ . Entonces, para conducir media hora se necesitarán 3 galones de gasolina.

También puedes verificar que tu gráfico estaba correcto desde un principio si observas que uno de los pares ordenados es 2,5 horas y 15 galones, cantidad que se entregó originalmente en este problema.

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Linear Function Graficas (11:49)

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*Este video se encuentra disponible sólo en inglés.

La receta para asar un pavo sugiere cocinarlo por 100 minutos más 8 minutos adicionales por libra.
1. Escribe una función para el tiempo de cocción, si el pavo está pesado en libras $(x)$ .
2. Determina el tiempo necesario para cocinar un pavo de 10 lb.
3. Determina el tiempo necesario para cocinar un pavo de 27 lb.
4. Determina el tamaño máximo de un pavo que puedes cocinar en $4\frac{1}{2}$ horas.
$F(C)=1.8C+32$ es la función utilizada para convertir grados Celsius a Fahrenheit. Encuentra $F(100)$ y explica qué representa.
Una tarjeta de teléfono prepago tiene $20 para hacer llamadas. La llamada tiene una tarifa fija de $0,16 por minuto. Escribe el valor de la tarjeta como una función de minutos por llamada. Utiliza una función para determinar el número de minutos de llamadas telefónicas que puedes hacer con la tarjeta.
Puedes quemar 330 calorías en una hora andando en bicicleta. Escribe esta situación utilizando $b(h)$ como la notación de función. Evalúa $b(0.75)$ y explica su significado.
Sadie tiene una cuenta bancaria con un saldo de $650,00. Ella planea gastar $55 por semana.
1. Escribe esta situación utilizando la notación de función.
2. Evalúa su cuenta después de 10 semanas. ¿Qué conclusiones puedes sacar?

Repaso mixto

Simplifica $-120\left (\frac{1}{2}\right )\left (\frac{3}{5}\right )$ .
Resuelve la suma: $7\frac{1}{4}+3\frac{2}{3}+5\frac{3}{4}$ .
Simplifica $-3(4m+11)$ .
¿Es la siguiente situación una función? Deja $x=$ salario y $y=$ impuestos pagados.
$y$ varía directamente con respecto $z$ , y $y=450$ cuando $z=6$ . Encuentra la constante de variación

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