Resolución de problemas utilizando gráficos lineales

En esta Sección, aprenderás a resolver problemas lineales de la vida cotidiana construyendo e interpretando gráficos.

Imagina que trabajas medio tiempo repartiendo periódicos y que puedes entregar 9 periódicos cada 15 minutos. Si entregas a una tasa constante, ¿cuántos diarios podrías entregar en 2 horas? ¿Puedes trazar un gráfico para representar esta situación? ¿Cómo te ayudaría el gráfico a resolver este problema? En esta Sección aprenderás a construir un gráfico para resolver problemas lineales de la vida cotidiana como éste.

Orientación

Graficar es una herramienta útil cuando se analiza una situación. Esta Sección se enfocará en el uso de gráficos para ayudarte a resolver problemas lineales que ocurren en la vida cotidiana.

Recuerda el plan para resolver problemas de 4 pasos:

Comprender el problema y subrayar o destacar la información clave.
Traducir el problema y trazar un método para resolver el problema.
Llevar a cabo el plan y resolver el problema.
Revisar e interpretar tu respuesta. ¿Tiene sentido?

Ejemplo A

Una compañía de celulares está ofreciendo a sus clientes el siguiente plan. Puedes comprar un celular nuevo por $60 y pagar una tarifa fija mensual de $40 por mes con llamadas ilimitadas. ¿Cuánto dinero costará el plan después de 9 meses?

Solución:

Comienza por traducir la oración a una ecuación algebraica.

$\text{cell phone} = \$60 + \$40 \ \text{per month}$

Deja $m=$ el número de meses y $t=$ el costo total . La ecuación queda como:

$t(m)=60+40m$

Puedes utilizar el método de suponer y verificar o resolver esta ecuación. Sin embargo, esta Sección se enfoca en la utilización de gráficos para resolver problemas. Esta ecuación es de la forma pendiente-intercepto. Cuando grafiques la recta de esta ecuación, encontrarás todos los pares ordenados que son soluciones para el problema de los teléfonos celulares.

Si encuentras el costo a los 9 meses, puedes ver que el costo es aproximadamente $425,00. Para verificar si esto es aproximadamente correcto, sustituye 9 por la variable $m$ .

$\text{Phone} & = \$60\\\\text{Calling plan} & = \$40 \times 9 = \$360\\\\text{Total cost} & = \$420.$

Nuestra respuesta, $425,00 es aproximadamente igual a la solución exacta, $420,00.

Ejemplo B

Christine se demoró una hora en leer 22 páginas de “Harry Potter y la Orden del Fénix.” Le quedan por leer 100 páginas para terminar el libro. Suponiendo que lee a una velocidad constante, ¿en cuánto tiempo espera ella terminar de leer el libro?

Solución:

No contamos con la suficiente información para escribir una ecuación. No sabemos la pendiente o el intercepto en $y-$ . Sin embargo, tenemos dos puntos que podemos graficar. Sabemos que si Christine nunca hubiese tomado un libro, ella habría leído cero páginas. Por lo tanto, Christine se demora 0 horas en leer 0 páginas. También sabemos que le tomó a Christine una hora leer 22 páginas. Las coordenadas que podemos graficar son (0, 0) y (1, 22).

Si utilizas el gráfico y encuentras 100 páginas, puedes determinar que Christine se demorará unas 4,5 horas en leer 100 páginas.

También puedes pensar en esto como una situación de variación directa y resolverlo como una proporción.

$\frac{22 \ pages}{1 \ hour}=\frac{100 \ pages}{h \ hours}$

Utilizando el teorema de los productos cruzados, puedes descubrir que $h \approx 4.55$ . Christine se demorará unas 4,55 horas en leer 100 páginas, lo que se acerca mucho a tu estimación original de 4,5 horas.

Ejemplo C

Un plan de mensajes mensual de un celular cuesta $10 por los primeros 100 mensajes de texto y luego $0,25 por cada mensaje de texto adicional. Grafica esta relación. Utiliza la gráfica para determinar el costo de enviar 123 mensajes de texto en un mes.

Solución:

El plan cuesta $10 sin importar cuántos mensajes envíes bajo 100. Incluso si envías cero mensajes, el costo es $10. Por lo tanto, $10 es el intercepto en $y$ . La pendiente o tasa es $0,25 por mensaje de texto o $\frac{1}{4}$ , pero sólo después de los 100 mensajes de texto. Además, la variable independiente $x$ representa el número de mensajes enviados $\textbf{over 100}$ . Debido a que queremos saber el costo de enviar 123 mensajes de texto en un mes, realmente necesitamos considerar cuando $x=23$ . Primero, graficaremos la ecuación utilizando el intercepto en $y$ y la pendiente:

El par coordinado para cuando $x=23$ está entre 15 y 16. En situaciones como éstas, es útil escribir la ecuación con el fin de encontrar el valor exacto, que en este caso es 15,75.

Enviar 123 mensajes de texto costará $15,75 con este plan.

Repaso en video

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Práctica guiada

Jerome condujo a 20 millas por hora por15 minutos en las calles de la ciudad; luego, a 40 millas por hora por 30 minutos en la carretera; a 60 millas por hora por una hora en la autopista; y, finalmente, a 20 millas por hora por 15 minutos en las calles de la ciudad. Utiliza un gráfico para determinar la distancia que condujo Jerome.

Solución:

Las diferentes velocidades de Jerome son sus diferentes tasas, en millas por hora. Debido a que sus tiempos están dados en minutos, convierte las tasas a millas por minuto:

$\frac{20 \text{ miles}}{\text{hour}}=\frac{20 \text{ miles}}{60 \text{ minutes}}=\frac{1 \text{ mile}}{3 \text{ minutes}}$

Si el cambio en el tiempo es de 15 minutos, entonces el cambio en la distancia es $\frac{1 \text{ mile}}{3 \text{ minutes}} \cdot 15 \text{ minutes} = 5 \text{ miles}$ . Por lo tanto, la tasa puede ser escrita como $\frac{5 \text{ miles}}{15 \text{ minutes}}.$

$\frac{40 \text{ miles}}{\text{hour}}=\frac{40 \text{ miles}}{60 \text{ minutes}}=\frac{2 \text{ mile}}{3 \text{ minutes}}$

Si el cambio en el tiempo es de 30 minutos, entonces el cambio en la distancia es $\frac{2 \text{ mile}}{3 \text{ minutes}} \cdot 30 \text{ minutes} = 20 \text{ miles}$ . Por lo tanto, la tasa puede ser escrita como $\frac{20 \text{ miles}}{30 \text{ minutes}}.$

$\frac{60 \text{ miles}}{\text{hour}}=\frac{60 \text{ miles}}{1 \text{ minutes}}=\frac{1 \text{ mile}}{1 \text{ minutes}}$

Si el cambio en tiempo es de 60 minutos, entonces el cambio en la distancia es $\frac{1 \text{ mile}}{1 \text{ minutes}} \cdot 60 \text{ minutes} = 60 \text{ miles}$ . Entonces, la tasa puede ser escrita como $\frac{60 \text{ miles}}{60 \text{ minutes}}.$

El último intervalo tiene la misma tasa que la primera: $\frac{5 \text{ miles}}{15 \text{ minutes}}.$

Utiliza estas tasas para dibujar un gráfico con las distancias en millas en función del tiempo en minutos.

A partir de la gráfica puedes ver que el viaje de Jerome demora 120 minutos o dos horas y que condujo 90 millas.

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Word Problem Solving 4 (10:05)

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*Este video se encuentra disponible sólo en inglés.

Utiliza el siguiente gráfico para determinar estos valores:
1. La cantidad de ganancias después de 40 horas.
2. Cuántas horas se necesitan para ganar $250,00
3. La pendiente de la recta y qué es lo que representa.
4. El intercepto en $y-$ de la recta y qué es lo que representa.
Un resorte estirado tiene una longitud de 12 pulgadas cuando soporta u peso de 2 lb. El mismo resorte tiene una longitud de 18 pulgadas cuando soporta u peso de 5 lb. En física se considera que dentro de ciertos límites de peso, la función que describe cuánto se estira un resorte con diferentes pesos es una función lineal. ¿Cuál es la longitud del resorte cuando no soporta ningún peso?

Un gimnasio ofrece un contrato a los nuevos miembros. Los clientes pueden inscribirse si pagan una cuota de inscripción de $200 y una tarifa mensual de $39. ¿Cuánto costará ser miembro del gimnasio en un año?
Una vela se está consumiendo a una velocidad lineal. La vela mide 5 pulgadas dos minutos después de que fuera encendida y tres pulgadas ocho minutos después de ser encendida. ¿Cuál era la longitud original de la vela?
Tali está tratando de encontrar el grosor de una página de su guía telefónica. Par hacerlo, toma medidas y se da cuenta de que 550 páginas miden 1,25 pulgadas. ¿Cuál es el grosor de una página de la guía telefónica?
Bobby y Petra tienen un puesto de limonadas y cobran 45 centavos por cada vaso de limonada. Para cubrir los gastos, deben ganar $25. ¿Cuántos vasos de limonada deben vender para ganar esa cantidad?
La propina por una cuenta de restaurant de $78,00 es $9,20. ¿Cuál es la propina por una comida de $21,50?
Karen salió de su casa y caminó a una velocidad de 4 millas / hora por 30 minutos. Se dio cuenta de que iba atrasada para la escuela y comenzó a trotar a una velocidad de 5,5 millas / horas por 25 minutos. Utilizando un gráfico, determina qué tan lejos está de su casa después de 45 minutos.

Repaso mixto

Simplifica $-4|-21-11|+16$ .
Da un ejemplo de una ecuación de variación directa y etiqueta sus constantes de variación.
Identifica la pendiente y el intercepto en $y-$ : $\frac{5}{3} x=y-4$ .
Imagina que el punto $A=(x,y)$ está ubicado en el cuadrante I. Escribe una función que movería $A$ al cuadrante III.
Encuentra las intersecciones de la ecuación $0.04x+0.06y=18$ .
Evalúa $f(4)$ cuando $f(x)=\frac{3x^2}{8}$ .

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