Cómo escribir una ecuación dados dos puntos

En esta Sección se te darán dos puntos y aprenderás cómo escribir la ecuación de la recta que pasa por ellos.

Supongamos que dos viajeros están perdidos en el bosque. Desde un mismo punto, una persona viajó 5 millas al este y 10 millas al sur, mientras que la otra persona viajó 2 millas al oeste y 8 millas al norte. Si transpusiéramos un plano de coordenadas sobre el bosque, con la recta yendo de oeste a este como el eje $x$ y la recta yendo de norte a sur como el eje $y$ , ¿podrías escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos que representan las nuevas ubicaciones de los viajeros? Después de terminar esta Sección serás capaz de resolver este tipo de problemas.

Orientación

En muchos casos, especialmente en situaciones del mundo real, no te dan ni la pendiente ni el intercepto $y-$ . Podrías tener solo dos puntos para determinar la ecuación de la recta.

Para encontrar una ecuación para una recta entre dos puntos necesitas dos cosas:

El intercepto $y-$ del gráfico
La pendiente de la recta

Anteriormente aprendiste cómo determinar la pendiente entre dos puntos. Repitamos la fórmula aquí.

La pendiente entre dos puntos cualesquiera $(x_1, y_1 )$ y $(x_2, y_2)$ es: $slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

El procedimiento para determinar una recta dados dos puntos es el mismo proceso de cinco pasos al escribir una ecuación dada la pendiente y un punto.

Ejemplo A

Escribe la ecuación para la recta que contiene los puntos (3, 2) y (–2, 4).

Solución: Necesitas la pendiente de una recta. Encuentra la pendiente de la recta usando la fórmula. Elige un par ordenado para representar $(x_1,y_1)$ y el otro par ordenado para representar $(x_2,y_2)$ .

$slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4-2}{-2-3}=-\frac{2}{5}$

Ahora usa el proceso de cinco pasos para encontrar la ecuación para esta recta.

Paso 1: Empieza por escribir la fórmula para la forma pendiente-intercepto.

$y=mx+b$

Paso 2: Sustituye la pendiente dada por $m$ .

$y=\frac{-2}{5} x+b$

Paso 3: Utiliza uno de los pares ordenados dados, (–2, 4), y sustituye estos valores por las variables $x$ y $y$ en la ecuación.

$4=\left (\frac{-2}{5}\right )(-2)+b$

Paso 4: Resuelve para $b$ (el intercepto $y-$ de la figura).

$4& =\frac{4}{5}+b\\\4-\frac{4}{5}& =\frac{4}{5}-\frac{4}{5}+b\\\\frac{16}{5}& =b$

Paso 5: Reescribe $y=mx+b$ , sustituyendo la pendiente por $m$ y el intercepto $y-$ por $b$ .

$y=\frac{-2}{5} x+\frac{16}{5}$

Ejemplo B

Escribe la ecuación para una recta que contiene los puntos (–4, 1) y (–2, 3).

Solución:

Empieza por la forma pendiente-intercepto de la recta, $y=mx+b$ .
Encuentra la pendiente de la recta $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-1}{-2-(-4)}=\frac{2}{2}=1$ .
Sustituye el valor de la pendiente por $m: y=(1)x+b$ .
Sustituye las coordenadas (–2, 3) en la ecuación por las variables $x$ e $y : 3=-2+b \Rightarrow b=5$ .
Reescribe la ecuación sustituyendo la pendiente por $m$ y el intercepto $y-$ por $b$ : $y=x+5$ .

Ejemplo C

Escribe la ecuación de la recta que contiene los puntos (3,6) y (-2, 6).

Solución:

Empieza por la forma pendiente-intercepto de la recta $y=mx+b$ .
Encuentra la pendiente de la recta: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-6}{-2-(3)}=\frac{0}{-5}=0$ .
Sustituye el valor de la pendiente por $m: y=(0)x+b \Rightarrow y=b$ .

Nótese que esta es una ecuación donde $y$ es igual a algún número. Esto significa que es una línea horizontal. Esto tiene sentido ya que la pendiente es cero y una línea horizontal tiene una pendiente igual a cero.

Sustituye las coordenadas (3, 6) en la ecuación por las variables $x$ y $y : 6=(0)3+b \Rightarrow b=6$ .
Reescribe la ecuación sustituyendo la pendiente por $m$ y el intercepto $y-$ por $b$ : $y=6$ .

Si volvemos a ver un caso así en el futuro sabremos la respuesta sin tener que hacer todo el trabajo. Ya que los dos valores $y$ eran los mismos, esta debe ser una línea horizontal.

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica guiada

Escribe la ecuación de la recta que contiene los puntos (2, -3) y (2, 10).

Solución:

En este caso, nótese que los dos valores $x$ son los mismos. ¿Qué significa esto? Recuerda que para una recta vertical el valor $x$ sigue siendo el mismo sin importar cuál sea el valor de $y$ .

Ya que estamos tratando de escribir una ecuación de una recta, y en ambos casos es $x=2$ , podemos concluir que nuestra ecuación es:

$x=2$

Nota: Si quisiéramos calcular la pendiente de la recta dados los dos puntos, tendríamos lo siguiente:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-(-2)}{2-(2)}=\frac{-1}{0}=\text{undefined}$ .

Ya que nuestra recta es indefinida, debe ser una línea vertical. Llegaríamos a la misma conclusión de que esta es una línea vertical donde $x=2$ .

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Linear Equations in Slope-Intercept Form (14:58)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

¿Cuál es el primer paso para encontrar la ecuación de una recta dados dos puntos?

En 2-7, encuentra la ecuación de la recta en forma pendiente-intercepto.

La recta que contiene los puntos (2, 6) y (5, 0).
La recta que contiene los puntos (5, -2) y (8, 4).
La recta que contiene los puntos (3, 5) y (-3, 0).
La recta que contiene los puntos (10, 15) y (12, 20).

Revisión mixta

Traduce a una oración algebraica: Un tercio de un número es siete menos que ese número.
El perímetro de un cuadrado es 67 cm. ¿Cuál es el largo del lado?
Un equipo de hockey jugó 17 partidos. Ganaron dos más de los que perdieron. Perdieron 3 más de los que empataron. ¿Cuántos juegos ganaron, empataron y perdieron?
Simplifica $\frac{(30-4+4 \div 2) \div (21 \div 3)}{2}$ .
¿Cuál es el opuesto de 16,76?
Grafica lo siguiente en una recta numérica $\left \{6,\frac{11}{3},-5.65,\frac{21}{7}\right \}$ .
Simplifica: $[(-4+4.5)+(18-|-13|)+(-3.3)]$ .

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