Cómo escribir una función en forma pendiente-intercepto

En esta Sección aprenderás cómo escribir la forma pendiente-intercepto de funciones lineales y cómo trabajar con funciones en esta forma.

Pensemos que la función lineal $W(g)$ representa la cuenta mensual de agua de una familia, con $g$ como el número de galones de agua usados. Si supieras cuál es la función, ¿podrías encontrar $W(25)$ ? ¿Y si supieras la pendiente de la función y el valor de $W(25)$ ? ¿Podrías determinar cuál es la función? Supongamos que sabemos los valores de $W(25)$ y $W(50)$ . ¿Podrías determinar la función en este caso? Luego de haber terminado esta Sección serás capaz de hacer ejercicios como estos.

Orientación

Recuerda que una función lineal tiene la forma $f(x)=mx+b$ . Aquí $f(x)$ representa los valores $y$ de la ecuación o del gráfico. Entonces $y=f(x)$ y son a menudo intercambiables. Usar la notación funcional en una ecuación a menudo nos proporciona más información.

Por ejemplo, la expresión $f(x)=mx+b$ muestra claramente que $x$ es la variable independiente porque sustituimos los valores de $x$ en la función y hacemos una serie de operaciones sobre el valor de $x$ para calcular el valor de la variable dependiente, $y$ .

En este caso cuando sustituimos $x$ en la función, la función nos indica que multipliquemos por $m$ y luego sumemos $b$ al resultado. Este proceso genera todos los valores de $y$ que necesitamos.

Ejemplo A

Considera la función $f(x)=3x-4.$ Encuentra $f(2), f(0),$ y $f(-1)$ .

Solución:

Cada número en paréntesis es un valor de $x$ que necesitas sustituir en la ecuación de la función.

$f(2)=2; f(0)=-4; \ and \ f(-1)=-7$

La notación funcional nos indica mucho más que el valor de la variable independiente. También nos indica un punto en un gráfico. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, $f(-1)=-7$ . Esto significa que el par ordenado (–1, –7) es una solución para $f(x)=3x-4$ y aparece en la recta graficada. Puedes usar esta información para escribir una ecuación para una función.

Ejemplo B

y aparece en la recta graficada. Puedes usar esta información para escribir una ecuación para una función. $m=3.5$ y $f(-2)=1$ .

Solución:

Conoces la pendiente y conoces un punto del gráfico, (–2, 1). Escribe la ecuación de la recta usando los métodos presentados en esta Sección.

Comienza por la forma pendiente-intercepto.

$&& y& =mx+b\\\\text{Substitute the value for the slope.} && y& =3.5x+b\\\\text{Use the ordered pair to solve for} \ b. && 1& =3.5(-2)+b\\\&& b& =8\\\\text{Rewrite the equation.} && y& =3.5x+8 \\\\text{or} && f(x)& =3.5x+8$

Ejemplo C

Escribe una ecuación para una recta con $f(-1)=2$ y $f(5)=20$ .

Solución:

Conoces dos puntos del gráfico. Escribe la ecuación de la recta usando los métodos presentados en la Sección anterior. Primero, debes encontrar la pendiente.

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{20-2}{5-(-1)}=\frac{18}{6}=3$ .

Ahora usa la forma pendiente-intercepto:

$&& y& =mx+b\\\\text{Substitute the value for the slope.} && y& =3x+b\\\\text{Use the ordered pair to solve for} \ b. && 2& =3(-1)+b\\\&& b& =5\\\\text{Rewrite the equation.} && y& =3x+5\\\\text{or} && f(x)& =3x+5$

Video de Repaso

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Práctica guiada

Escribe una ecuación para la recta con $f(0)=2$ y $f(3)=-4$ y úsala para encontrar $f(-5), f(2), f(0), \text{ and } f(z)$ .

Solución:

Nótese que el primer punto dado como valor de entrada es 0 y el valor de salida es 2, lo que significa que el punto es (0,2). Éste es el intercepto $y$ . Entonces, todo lo que tenemos que hacer es encontrar la pendiente y luego llevar ambos valores a la forma pendiente-intercepto:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-4-2}{3-0}=\frac{-6}{3}=-2$ .

Ahora usa la forma pendiente-intercepto.

$&& y& =mx+b\\\\text{Substitute the value for the slope.} && y& =-2x+b\\\\text{Substitute the value for the y-intercept} && y& =-2x+2\\\\text{or} && f(x)& =-2x+2$

Ahora encontramos los valores de $f(-5), f(2), f(0), \text{ and } f(z)$ para $f(x) =-2x+2$ .

$f(-5) =-2(-5)+2=10+2=12$

$f(2) =-2(2)+2=-2$

$f(0) =-2(0)+2=0$

$f(z) =-2z+2$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Linear Equations in Slope-Intercept Form (14:58)

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Considera la función $f(x)=-2x-3.$ Encuentra $f(-3), f(0),$ y $f(5)$ .
Considera la función $f(x)=\frac{2}{3}x+10.$ Encuentra $f(-9), f(0),$ y $f(9)$ .

En 3–10, encuentra la ecuación de una función lineal en forma pendiente-intercepto.

$m=5, f(0)=-3$
$m=-2$ , $f(0)=5$
$m=-7, f(2)=-1$
$m=\frac{1}{3}, f(-1)=\frac{2}{3}$
$m=4.2, f(-3)=7.1$
$f\left (\frac{1}{4}\right )=\frac{3}{4}, f(0)=\frac{5}{4}$
$f(1.5)=-3, f(-1)=2$
$f(-1)=1$ , $f(1)=-1$

Revisión mixta

Traduce a una oración: $4(j+2)=400$ .
Evalúa $0.45 \cdot 0.25-24 \div \frac{1}{4}$ .
La fórmula para convertir grados Fahrenheit a Celsius es $C(F)=\frac{F-32}{1.8}$ . ¿Cuál es el equivalente en Celsius de $35^\circ F$ ?
Encuentra la variación de: el buzo se sumergió 120 metros en 3 minutos.
¿Qué porcentaje de 87,4 es 106?
Encuentra el porcentaje de cambio: El precio original era $25,00. El precio nuevo es $40,63.
Resuelve para $w: \ 606=0.045(w-4000)+0.07w$ .

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