Ecuaciones lineales en forma punto-pendiente

Supongamos que el costo de una boda fuese una función del número de invitados que asistan. Si supieras la pendiente de la función y también cuánto costaría la boda si fuesen 150 invitados, ¿podrías escribir una ecuación lineal que represente esta situación? Si es así, ¿qué forma de ecuación sería más fácil de usar? En esta Sección aprenderás sobre la forma punto-pendiente de una ecuación lineal para que puedas responder preguntas como ésta.

Orientación

Las ecuaciones se pueden escribir en muchas formas. Las Secciones anteriores te enseñaron cómo escribir una ecuación de recta en forma pendiente-intercepto. Esta Sección proporcionará una segunda manera de escribir una ecuación de una recta: forma punto-pendiente. .

La ecuación de la recta entre dos puntos cualesquiera y puede ser escrita en la siguiente forma: .

Para escribir una ecuación en forma punto-pendiente necesitas dos cosas:

1. La pendiente de la recta
2. Un punto de la recta

Ejemplo A

Escribe una ecuación para la recta que contiene los puntos (9, 3) y (4, 5).

Solución: Empecemos por encontrar la pendiente.

En vez de tratar de encontrar (el intercepto ), usarás la fórmula punto-pendiente.

No importa qué punto uses.

También podrías usar el otro par ordenado para escribir la ecuación:

Estas ecuaciones pueden verse completamente diferentes, pero al resolver cada una para , puedes comparar con la forma pendiente-intercepto para verificar tu respuesta.

Este proceso es denominado reescribir en forma pendiente-intercepto.

Cómo graficar ecuaciones usando la forma punto-pendiente

Si te dan una ecuación en forma punto-pendiente no es necesario reescribirla en forma pendiente-intercepto para graficarla. La forma punto-pendiente de una ecuación te da suficiente información para graficar la recta.

Ejemplo B

Dibuja un gráfico de la recta dada por la ecuación .

Solución: Empieza por reescribir la ecuación para convertirla en punto-pendiente: Ahora podemos ver que el punto (–2, 2) está en la recta y que . primer punto dibujado en el gráfico es (–2, 2).

Una pendiente de te dice que desde tu punto debes moverte 2 unidades hacia arriba y 3 unidades a la derecha para dibujar otro punto.

Ahora dibuja una recta que pase por los dos puntos y extiéndela en ambas direcciones.

Cómo escribir una función lineal en la forma punto-pendiente

Recuerda de la Sección anterior que e se usan intercambiablemente. Por lo tanto, para escribir una función en forma punto-pendiente reemplazas por .

Ejemplo C

Escribe la ecuación de la función lineal en forma punto-pendiente.

y

Solución: Esta función tiene una pendiente de 9,8 y contiene el par ordenado (5,5, 12,5). Si sustituimos los valores correspondientes en una forma punto-pendiente, obtenemos lo siguiente:

Si reemplazamos por , la ecuación en forma punto-pendiente es:

Donde la última ecuación está en forma pendiente-intercepto.

Video de Repaso

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Práctica guiada

Reescribe en forma pendiente-intercepto.

Solución: Usa la propiedad distributiva para simplificar el lado derecho de la ecuación:

Resuelve para :

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Linear Equations in Point-Slope Form (9:38)

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1. ¿Cuál es la ecuación para una recta que contiene los puntos y en forma punto-pendiente?
2. ¿De qué maneras es más fácil de usar la forma punto-pendiente en vez de pendiente-intercepto?

En 3-13, escribe la ecuación de la recta en forma punto-pendiente.

3. La pendiente es ; el intercepto ess –4.
4. La pendiente es y contiene el punto (10, 2).
5. La pendiente es –75 y contiene el punto (0, 125).
6. La pendiente es 10 y contiene el punto (8, –2).
7. La recta contiene los puntos (–2, 3) y (–1, –2).
8. La recta contiene los puntos (0, 0) y (1, 2).
9. La recta contiene los puntos (10, 12) y (5, 25).
10. La recta contiene los puntos (2, 3) y (0, 3).
11. La recta tiene una pendiente de y un intercepto es –3.
12. La recta tiene una pendiente de -6 y un intercepto es 0.5.
13. La recta contiene los puntos (–4, –2) y (8, 12).

En 14-17, escribe cada ecuación en forma pendiente-intercepto.

En 18–25, escribe la ecuación de la función lineal en forma punto-pendiente.

18. y
19. y
20. y
21. y
22. y
23. y
24. y
25. y