Formas de ecuaciones lineales

En esta Sección aprenderás sobre la forma estándar de una ecuación lineal y cómo encontrar la pendiente y el intercepto $y-$ de una ecuación en esta forma.

Supongamos que entras a un sitio web que te permite escribir dos puntos y te entrega la ecuación de la recta que pasa por esos puntos. El único problema es que el sitio entrega la ecuación en forma $Ax+By=C$ , donde $A,B$ , y $C$ son enteros y $A$ y $B$ no son cero. Querías saber la pendiente y el intercepto $y-$ ¿qué deberías hacer ahora? En esta Sección aprenderás qué hacer al aprender sobre la forma estándar de una ecuación lineal y cómo encontrar la pendiente y el intercepto $y-$ de una ecuación en esta forma.

Orientación

Anteriormente aprendimos que hay varias maneras de escribir una ecuación lineal. Esta Sección presenta otro método: forma estándar . Hemos visto ejemplos de ecuaciones en forma estándar en la Sección de ecuaciones lineales en forma punto-pendiente. Por ejemplo, aquí hay algunas ecuaciones escritas en forma estándar.

$0.75(h)+1.25(b)& =30\\\7x-3y& =21\\\2x+3y& =-6$

La forma estándar de una ecuación lineal tiene la forma $Ax+By=C$ , donde $A,B$ , y $C$ son enteros y $A$ e $B$ no son cero .

Las ecuaciones escritas en forma estándar no tienen coeficientes fraccionarios y las variables están escritas en el mismo lado de la ecuación.

Deberías ser capaz de reescribir cualquiera de las fórmulas en formas alternativas.

$Slope-intercept \ form & \leftrightarrow Standard \ form\\\Slope-intercept \ form & \leftrightarrow Point - slope \ form\\\Point-slope \ form & \leftrightarrow Standard \ form$

Ejemplo A

Reescribe $\frac{3}{4}(h)+\frac{5}{4}(b)=30$ en forma estándar .

Solución: De acuerdo con la definición de la forma estándar, los coeficientes deben ser enteros. Entonces necesitamos despejar las fracciones del denominador usando multiplicación.

$\frac{3}{4} h+\frac{5}{4} b& =30 \rightarrow 4\left (\frac{3}{4} h+\frac{5}{4} b\right )=4(30)\\\3h+5b& =120$

La ecuación está ahora en forma estándar: $A=3, B=5$ , y $C=120$ .

Ejemplo B

Reescribe $y-5=3(x-2)$ en forma estándar.

Solución: Usa la propiedad distributiva para simplificar el lado derecho de la ecuación.

$y-5=3x-6$

Reescribe esta ecuación para que las variables $x$ y $y$ estén en el mismo lado de la ecuación.

$y-5+6& =3x-6+6\\\y-y+1& =3x-y\\\1 &=3x-y, && \ \text{where } A=3, B=-1, \text{and } C=1.$

Cómo encontrar la pendiente y el intercepto $y-$ de una ecuación en forma estándar

La forma pendiente-intercepto y la forma punto-pendiente de una ecuación lineal contienen ambas la pendiente de la ecuación explícitamente, pero la forma estándar no. Ya que la pendiente es una parte tan importante de una recta, es útil saber cómo encontrar la pendiente si te dan la ecuación de la recta en forma estándar.

Comencemos por la forma estándar: $Ax+By=C$ .

Si reescribes esta ecuación en forma pendiente-intercepto, se convierte en:

$Ax-Ax+By& =C-Ax\\\\frac{By}{B}& =\frac{-Ax+C}{B}\\\y& =\frac{-A}{B}x+\frac{C}{B}$

Cuando comparas esta forma con la forma pendiente-intercepto, $y=mx+b$ , puedes ver que la pendiente de una ecuación en forma estándar es $\frac{-A}{B}$ y el intercepto $y-$ es $\frac{C}{B}$ .

La forma estándar de una ecuación lineal, $Ax+By=C$ , tiene lo siguiente:

$slope=\frac{-A}{B}$ y $y-intercept=\frac{C}{B}$ .

Ejemplo C

Encuentra la pendiente y el intercepto $y-$ de $2x-3y=-8$ .

Solución: Al usar la definición de la forma estándar, $A=2, B=-3,$ y $C=-8$ .

$slope & =\frac{-A}{B}=\frac{-2}{-3} \rightarrow \frac{2}{3}\\\y-intercept & =\frac{C}{B} =\frac{-8}{-3}\rightarrow \frac{8}{3}$

La pendiente es $\frac{2}{3}$ y el intercepto $y-$ es $\frac{8}{3}$ .

Video de Repaso

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Práctica guiada

Reescribe lo siguiente en forma estándar.

1. $5x-7=y$

2. $0.75h+1.25b =30$

Soluciones:

Reescribe esta ecuación para que las variables $x$ e $y$ estén en el mismo lado de la ecuación.

$5x-7+7& =y+7\\\5x-y& =y-y+7\\\5x-y& =7, && \ \text{where }A=5, B=-1, \text{and } C=7.$

Esta ecuación ya está casi en la forma deseada, ya que las dos variables están en el mismo lado y el número está en el otro lado. Lo que necesita esta ecuación es tener coeficientes enteros. En este ejemplo, vamos a despejar los decimales , lo que es similar a despejar fracciones . ¿Qué número podemos multiplicar por 0,75 and 1,25 para convertirlos en enteros? Ya que cada decimal es un centésimo, necesitamos multiplicar cada uno por 100.

$0.75h+1.25b& =30\\\100 \cdot (0.75h+1.25b)& =100\cdot(30)\\\75h+125b=3000, && \ \text{where } A=75, B=125, \text{and } C=3000.$

Nota: Técnicamente, $A$ y $B$ pueden ir con cualquier variable, y se les puede imaginar como los dos coeficientes en frente de las dos variables. Normalmente tenemos $A$ en frente de $x$ y $B$ en frente de $y$ . Pero esto es solamente algo que hacen los matemáticos para ser consistentes. Ya que nuestras variables no son $x$ y $y$ , $A$ y $B$ pueden ir con cualquier variable.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Linear Equations in Standard Form (10:08)

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¿Cuál es la forma estándar de una ecuación lineal? ¿Qué representan $A,B$ , y $C$ ?
¿Cuál es el significado de "despejar las fracciones"? ¿Cómo lo harías?
Considera la ecuación $Ax+By=C$ . ¿Cuáles son la pendiente y el intercepto $y-$ de esta ecuación?

Reescribe las siguientes ecuaciones en forma estándar.

$y=3x-8$
$y=-x-6$
$y=\frac{5}{3} x-4$
$0.30x+0.70y=15$
$5= \frac{1}{6} x-y$
$y-7=-5(x-12)$
$2y=6x+9$
$y=\frac{9}{4}x+\frac{1}{4}$
$y+\frac{3}{5}=\frac{2}{3}(x-2)$
$3y+5=4(x-9)$

Escribe la pendiente y el intercepto $y-$ de las siguientes rectas.

$5x-2y=15$
$3x+6y=25$
$x-8y=12$
$3x-7y=20$
$9x-9y=4$
$6x+y=3$
$x-y=9$
$8x+3y=15$
$4x+9y=1$

En 23–27, escribe cada ecuación en forma estándar escribiéndola antes en forma punto-pendiente.

$Slope = -1$ por el punto (–3, 5)
$Slope = -\frac{1}{4}$ por el punto (4, 0)
Recta que pasa por (5, –2) y (–5, 4)
Recta que pasa por (–3, –2) y (5, 1)
Recta que pasa por (1, –1) y (5, 2)

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