Aplicaciones de los modelos lineales

En esta Sección aprenderás cómo resolver problemas del mundo real usando ecuaciones lineales y cómo decidir qué forma de ecuación lineal es más fácil usar en una situación dada.

Supongamos que un servicio de arriendo de películas cobra una tarifa fija por mes y también cobra $3,00 por película arrendada. El mes pasado arrendaste 8 películas, y ahora tu tarifa mensual es $30,00. ¿Podrías escribir una ecuación lineal para modelar esta situación? ¿Qué forma sería la más fácil de usar, pendiente-intercepto, punto-pendiente, o forma estándar? En esta Sección aprenderás a resolver problemas del mundo real tales como este usando modelos lineales, y también aprenderás a decidir qué forma de ecuación lineal es la más fácil de usar en una situación dada.

Orientación

Apliquemos los métodos que aprendimos en lecciones anteriores para unos pocos problemas de aplicación que se pueden modelar usando una relación lineal.

Ejemplo A

Nadia tiene $200 en su cuenta de ahorro. Consigue un trabajo que paga $7,50 por hora y ella deposita todas sus ganancias en su cuenta de ahorro. Escribe una ecuación que describa este problema en forma pendiente-intercepto. ¿Cuántas horas necesita trabajar Nadia para tener $500 en su cuenta?

Solución: Empecemos definiendo las variables:

$y=$ cantidad de dinero en la cuenta de ahorro de Nadia

$x=$ número de horas

El problema nos da el intercepto $y-$ y la pendiente de la ecuación.

Nos dicen que Nadia tiene $200 en cuenta de ahorro, entonces $b=200$ .

Nos dicen que Nadia tiene un trabajo en el que gana $7,50 por hora, entonces $m=7.50$ .

Si sustituimos estos valores en la forma pendiente-intercepto, $y=mx+b$ , obtenemos $y=7.5x+200$ .

Para responder esta pregunta sustituimos $500 por el valor de $y$ y resolvemos.

$500 = 7.5x+200 \Rightarrow 7.5x=300 \Rightarrow x=40$

Nadia debe trabajar 40 horas si quiere tener $500 en su cuenta.

Ejemplo B

Marciel arrendó un camión de mudanza por un día. Marciel recuerda solamente que el camión cobra $40 por día y algunos centavos por milla. Marciel conduce 46 millas y el monto final de la cuenta (sin impuestos) es $63. ¿Cuánto cobra por milla la empresa que arrienda el camión? Escribe una ecuación en forma punto-pendiente que describa esta situación. ¿Cuánto costaría arrendar este camión si Marciel condujera 220 millas?

Solución: Definimos las variables: $x=$ distancia en millas; $y=$ costo en dólares del camión arrendado. Hay dos pares ordenados: (0, 40) y (46, 63).

Paso 1: Empecemos por encontrar la pendiente: $\frac{63-40}{46-0}=\frac{23}{46}=\frac{1}{2}$ .

Paso 2: Sustituimos la pendiente por $m$ y una de las coordenadas por $(x_1,y_1)$ .

$y-40= \frac{1}{2} (x-0)$

Para saber cuánto costará arrendar el camión por 220 millas sustituimos 220 por la variable $x$ .

$y-40 & = \frac{1}{2} (220-0)\\\y-40 & =0.5(220) \Rightarrow y=\$150$

Ejemplo C

Nimitha compra fruta en un mercado cercano. Este sábado las naranjas cuestan $2 por libra y las cerezas cuestan $3 por libra. Ella tiene $12 para gastar en fruta. Escribe una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si ella compra 4 libras de naranjas, ¿cuántas libras de cerezas puede comprar?

Solución: Definimos las variables: $x=$ libras de naranjas e $y=$ libras de cerezas.

La ecuación que describe esta situación es: $2x+3y=12$

Si ella compra 4 libras de naranjas, sustituimos $x=4$ en la ecuación y resolvemos para $y$ .

$2(4)+3y=12 \Rightarrow 3y=12-8 \Rightarrow 3y=4 \Rightarrow y=\frac{4}{3}$ . Nimitha puede comprar $1\frac{1}{3}$ libras de cerezas.

Video de Repaso

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Práctica guiada

1. Un tallo de bambú de la familia Phyllostachys nigra crece a un ritmo constante de 12 pulgadas por día y logra su altura máxima de 720 pulgadas en 60 días. Escribe una ecuación que describa este problema en forma pendiente-intercepto. ¿Qué tan alto es el tallo de bambú 12 días después de empezar a crecer?

2. Jethro va a la escuela en su skateboard por un tramo y luego camina el resto del camino. Puede alcanzar una velocidad de 7 millas por hora en su skateboard y puede caminar a 3 millas por hora. La distancia a la escuela es de 6 millas. Escribe una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si Jethro usa su skateboard por $\frac{1}{2}$ hora, ¿cuánto tiene que caminar para llegar a la escuela?

Soluciones:

1. Define las variables.

$y=$ el largo de la planta de bambú en pulgadas

$x=$ número de días

El problema nos da la pendiente de la ecuación y un punto de la recta.

El bambú crece a un ritmo de 12 pulgadas por día, entonces $m=12$ .

Se nos indica que la planta crece 720 pulgadas en 60 días, entonces tenemos el punto (60, 720).

$\text{Start with the slope-intercept form of the line.} && y& =mx+b\\\\text{Substitute 12 for the slope.} && y& =12x+b\\\\text{Substitute the point} \ (60,720). && 720& =12(60)+b \Rightarrow b=0\\\\text{Substitute the value of} \ b \ \text{back into the equation.} && y& =12x$

Para responder esta pregunta sustituimos el valor $x=12$ para obtener $y=12(12)=144$ pulgadas.

El bambú mide 144 pulgadas 12 días después de empezar a crecer.

Definimos las variables: $x=$ horas Jethro en skateboard y $y=$ horas que Jethro camina.

La ecuación que describe esta situación es $7x+3y=6$ .

Si Jethro hace skateboard $\frac{1}{2}$ hora sustituimos $x=0.5$ en la ecuación y resolvemos para $y$ .

$7(0.5)+3y=6 \Rightarrow 3y=6 - 3.5 \Rightarrow 3y=2.5 \Rightarrow y=\frac{5}{6}$ . Jethro debe caminar $\frac{5}{6}$ de hora.

Práctica

Para comprar un auto, Andrew hace un pago inicial de $1500 y paga una cuota mensual de $350. Escribe una ecuación que describa este problema en forma pendiente-intercepto. ¿Cuánto dinero ha pagado Andrew al cabo de un año?
Anne trasplanta una semilla de rosa en su jardín. Ella quiere estar pendiente del crecimiento de la rosa, por lo que mide su altura cada semana. En la tercera semana se da cuenta que la rosa mide 10 pulgadas de alto y en la undécima semana mide 14 pulgadas de alto. Suponiendo que la rosa crece linealmente en el tiempo, escribe una ecuación que describa este problema en forma pendiente-intercepto. ¿Cuál era el alto de la rosa cuando la plantó Anne?
Ravi está colgando de un gran resorte que mide 5 m. Cuando su hijo Nimi se cuelga del resorte, el largo de éste es de 2 m. Ravi pesa 160 libras y Nimi pesa 40 libras. Escribe una ecuación para este problema en forma pendiente-intercepto ¿Cuál debería ser el largo del resorte cuando su esposa Amardeep, que pesa 140 libras, se cuelgue del resorte?
Petra está probando una cuerda elástica. Ella amarra un extremo de la cuerda en lo alto de un puente y en el otro extremo amarra diferentes pesos. Luego mide cuánto se estira la cuerda. Descubre que para un peso de 100 libras la cuerda se estira 265 pies y para un peso de 120 libras la cuerda se estira 275 pies. La física nos dice que en un cierto rango de valores, incluidos los aquí dados, la cantidad que la cuerda se estira es una función lineal de peso. Escribe una ecuación que describa este problema en forma pendiente-intercepto. ¿Cuánto deberíamos esperar que se estire la cuerda para un peso de 150 libras?
Nadia está poniendo diferentes pesos en un resorte y está midiendo el largo del resorte estirado. Descubre que para un peso de 100 gramos el largo del resorte estirado es de 20 cm y para un peso de 300 gramos el largo del resorte estirado es de 25 cm. Escribe una ecuación en forma punto-pendiente que describa esta situación. ¿Cuál es el largo del resorte al no estar estirado?
Andrew es comandante de un submarino. Decide salir a la superficie a profundidad de periscopio. Le toma 20 minutos subir de una profundidad de 400 pies a una profundidad de 50 pies. Escribe una ecuación en forma punto-pendiente que describa esta situación. ¿Cuál era la profundidad del submarino cinco minutos antes de empezar a subir?
Anne consiguió un trabajo como vendedora de persianas. Ella recibe un salario base mensual y $6 de comisión por cada persiana que vende. Al fin del mes, suma sus ventas y se da cuenta de que vendió 200 persianas y ganó $2500. Escribe una ecuación en forma punto-pendiente que describa esta situación. ¿Cuánto es el salario mensual de Anne?
En el mercado se vende tomates y maíz. Los tomates se venden a $1,29 por libra y el maíz se vende a $3,25 por libra. Si compras 6 libras de tomates, ¿cuántas libras de maíz puedes comprar si en total gastas $11,61?
La iglesia del barrio estará vendiendo pescado el viernes para la Cuaresma. Se vende una cena de pescado frito en $7,50 y una cena de pescado al horno en $8,25. La iglesia vendió 130 cenas de pescado frito y ganó $2.336,25. ¿Cuántas cenas de pescado al horno se vendieron?
Andrew tiene dos trabajos de medio tiempo. En uno gana $6 por hora y en el otro gana $10 por hora. Él quiere ganar $366 por semana. Escribe una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si solo se le permite trabajar 15 horas por semana a $10 por hora trabajada, ¿cuántas horas necesita trabajar por semana a $6 la hora para lograr esta meta?
Anne invierte dinero en dos cuentas. Una cuenta genera 5% de interés anual y la otra genera 7% de interés anual. Para no recibir una penalización tributaria, no puede ganar más de $400 en intereses por año. Escribe una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si invierte $5000 en la cuenta de 5%, ¿cuánto dinero necesita invertir en la otra cuenta?

Revisión mixta

Escribe la siguiente ecuación en forma pendiente-intercepto: $y-2=6(x-3)$ .
Resuelve para $p:\frac{p-2}{7}=\frac{p+1}{6}$ .
Describe el gráfico de $x=1.5$ .
Decide si (4, –3) es una solución para $5x+3y=9$ .
Describe las coordenadas de un punto localizado en el cuadrante III.
Encuentra la pendiente entre (6, 6) y (16, 6).
Grafica la ecuación $y=\frac{5}{9} x-7$ .

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